Sendo A(2,1-1) , B(3,0,1) e C (2,-1,-3) determine o ponto D sendo que AD= BC x AC

Digamos que D(x,y,z) é o ponto que queremos.

Então AD=D-A=(x,y,z)-(2,1,-1)=(x-2,y-1,z+1)

         BC=C-B=(2,-1,-3)-(3,0,1)=(-1,-1,-4)

         AC=C-A=(2,-1,-3)-(2,1,-1)=(0,-2,-2)

Logo AD=BCxAC => (x-2,y-1,z+1)=(-1,-1,-4)x(0,-2,-2)

Fazendo o produto vetorial BCxAC=(-1,-1,-4)x(0,-2,-2)=(-6,-2,2)

Assim (x-2,y-1,z+1)=(-6,-2,2)

Igualando as coordenadas:

x-2=-6                y-1=-2                z+1=2

x=-4                   y=-1                   z=1

Portanto D(x,y,z) => D(-4,-1,1)

Para determinarmos o ponto D, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & A=\left( 2,1-1 \right) \\ & B=\left( 3,0,1 \right) \\ & C=\left( 2,-1,-3 \right) \\ & AC=(0,-2,-2) \\ & BC=(-1,-1,-4) \\ & AD=(x-2,y-1,z+1) \\ & \\ & AD=BC\times \text{ }AC \\ & \\ & (x-2,y-1,z+1)=\det \left[ \begin{matrix} i & j & k \\ 0 & -2 & -2 \\ -1 & -1 & -4 \\ \end{matrix} \right]\begin{matrix} i & j \\ 0 & -2 \\ -1 & -1 \\ \end{matrix} \\ & (x-2,y-1,z+1)=-8i+2j-2k-2i \\ & x=-8 \\ & y=3 \\ & z=-3 \\ & \\ & D=(-8,3,-3) \\ \end{align} \)

Portanto, o ponto D será \(\boxed{D = \left( { - 8,3, - 3} \right)}\).