Matemática Básica

30º

O produto da tangente pela cossecante de um ângulo x é dado por: \(tg(x)\times cossec(x)\) .

O produto da cotangente pela secante de um ângulo x é dado por: \(cotg(x)\times sec(x)\) .

O problema informa que a razão entre o produto da tangente pela cossecante de um ângulo e o produto da cotangente pela secando do mesmo ângulo é igual a 1, sendo assim:

\[\dfrac{tg(x)\times cossec(x)}{cotg(x) \times sec(x)}=1\]

Para simplificar, pode-se utilizar algumas identidades trigonométricas, tais como:

\[\eqalign { &cossec(x)= \dfrac{1}{sen(x)} \cr &sec (x) =\dfrac {1}{cos(x)} \cr &cotg(x) = \dfrac{1}{tg(x)} }\]

Fazendo a substituição, tem-se:

\[\eqalign { & \dfrac{tg(x)\times cossec(x)}{cotg(x) \times sec(x)}=1 \cr & \dfrac{tg(x)\times \dfrac{1}{sen(x)}}{\dfrac{1}{tg(x)} \times \dfrac{1}{cos(x)}} =1 \cr & \dfrac{tg(x)}{sen(x)}\times tg(x)\times cos(x) =1 }\]

Outra identidade trigométrica importante é: \(tg(x)=\dfrac{sen(x)}{cos(x)}\).

Substituindo na solução do problema, tem-se:

\[\eqalign { & \dfrac{tg(x)}{sen(x)}\times tg(x)\times cos(x) =1 \cr & \dfrac{sen(x)}{cos(x)\times sen(x)} \times \dfrac{sen(x)}{cos(x)} \times cos(x) =1 \cr & \dfrac{sen^2(x)\times cos(x)}{cos^2(x) \times sen(x)}=1 \cr & \dfrac{sen(x)}{cos(x)}=1 \cr &tg(x)=1 \cr &x=45º}\]

Finalmente, tem-se que o valor do ângulo é \(\boxed{45º}\) .