Como calcular a projeção ortogonal?

Boa tarde!

Vou resolver a letra a) para te ajudar, ok? Vou tentar deixar bastante detalhado.

proj_u_v (leia projeção de v sobre u, o u está sobrescrito, ok?) = ( (v.u)/||u||² ) u 

Então, vamos calcular primeiramente o valor de v.u

v=(3,2,1)

u=(1,2,-2)

v.u=3x1+2x2+1x(-2)=3+4-2=5

Agora, calcular o valor de ||u||²

||u||²=u.u=1x1+2x2+(-2)x(-2)=1+4+4=9

Então, a parcela (v.u)/||u||² vale 5/9, ok?

Portando, a projeção de v sobre u vale:

proj_u_v=(5/9)(1,2,-2)=(5/9, 10/9, -10/9)

Agora, para decompor ficou fácil.

v=v1+v2

v1 é paralelo a u = proj_u_v (projeção de v sobre u) = (5/9, 10/9, -10/9)

o v2, perpendicular, sai da relação v2=v-v1

Então:

v2=(3,2,1)-(5/9, 10/9, -10/9)=( (27-5)/9, (18-10)/9, (9-(-10))/9 )=(22/9, 8/9, 19/9)

Taí!

Para comprovar que v1 e v2 são ortogonais, pode fazer o produto interno entre eles, pois dois vetores ortogonais tem produto interno zero.

v1.v2=(5/9, 10/9, -10/9).(22/9, 8/9, 19/9)=5x22/81+10x8/81-10x19/81=110/81+80/81-190/81=0

Veja que os vetores são realmente ortogonais entre si! :)

Espero que tenha ajudado!