Calcule a integral de f(x) = 2x³/(x²-4)

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faça x²-4=u e seja feliz

Nesse exercício vamos estudar o método das frações parciais.

Vamos calcular a seguinte integral:

$$I=\int \dfrac{2x^3}{x^2-4}dx$$

Para começar, vamos reescrever o numerador como o denominador como quociente e um resto a ser determinado:

$$2x^3=2(x^3-4x)+8x=2x(x^2-4)+8x$$

Substituindo na integral, temos:

$$I=\int \dfrac{2x(x^2-4)+8x }{x^2-4}dx$$

$$I=\int 2x+\dfrac{8x }{x^2-4}dx$$

Podemos fatorar o denominador por diferença de quadrados:

$$I=\int 2x+\dfrac{8x }{(x-2)(x+2)}dx$$

Quando temos um produto no denominador, conseguimos reescrever a fração como uma soma de duas outras cada uma com um dos fatores no denominador:

$$\dfrac{8x }{(x-2)(x+2)}\equiv\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x+2}$$

Multiplicando pelo denominador do lado esquerdo, temos:

$$8x\equiv A(x+2)+B(x-2)$$

$$8x+0\equiv (A+B)x+2(A-B)$$

O que nos leva ao seguinte sistema de equações:

$$A+B=8$$

$$A-B=0$$

De forma que $A=B=4$ é a solução:

$$\dfrac{8x }{(x-2)(x+2)}\equiv\dfrac{4}{x-2}+\dfrac{4}{x+2}$$

Substituindo na integral, temos:

$$I=\int 2x+\dfrac{4}{x-2}+\dfrac{4}{x+2}dx$$

O primeiro termo do integrando, integramos por regra do tombo invertida e os outros dois resultam em logaritmo:

$$I=x^2+4\ln{x-2}+4\ln{x+2}$$

Mas

$$\ln{a}+\ln{b}=\ln{ab}$$

Então:

$$\boxed{\int \dfrac{2x^3}{x^2-4}dx = x^2+4\ln{x^2-4}}$$