Probabilidade e estatística

São calculos bem extensos: com ajuda de ferramentas facilita um pouco. não vou colocar aqui toda a resolução, mas vou colocar como resolver cada etapa, assim será possivel resolver.

Para resolver essa questão é necessario encontrar o valor da média em x e em y depois encontrar o valo do desvio padrão de x e de y, com esses dados se faz o calculo do coeficciente de correlação.

A média de x se calcula somando todas as componentes de x e dividindo pelo quantidade de variaveis :

\(x = {10+10+15+20+25+30+35+35+40+50+50+50+60+60+70 \over 15}\)

 Media de x=37,3

Para calcular o Desvio padrão se faz uma raiz quadrada da  somatória dos resultados obtidos de cada variavel x  subtraido do desvio padrao elevado ao quadrado, somando assim todos os resultados da variavel x, ainda dentro da raiz divide toda a soma por n-1 onde n é quantidade de variavei. 

 fica assim: Sx = \(Sx = { \sqrt{(x1-media)^2+...(xn-media)^2\over n-1} }\)

\(Sx = {\sqrt{((10-37,3)^2+(10-37,3)^2+(15-37,3)^2+(20-37,3)^2 +(25-37,3)^2+(30-37,3)^2+(35-37,3)^2+(35-37,3)^2+(40-37,3)^2+(50-37,3)^2++(50-37,3)^2+(50-37,3)^2+(60-37,3)^2+(60-37,3)^2(70-37,3)^2)\over14}}\)

Sx =18,96

Se Faz os mesmos calculos com relação a y:

Media de y =13

Desvio padrão = 33,13

O calculo do coeficiente de correlação é dado por :

\(r = { 1\over n-1} \sum{}(({x1-xmedia \over Sx})({y1-ymedia \over Sy})+({x2-xmedia \over Sx})({y2-ymedia \over Sy})+...+({xn-xmedia \over Sx})({yn-ymedia \over Sy}))\)

\(r = { 1\over 15-1} (({10-37,3 \over 18,96})({6-13 \over 33,35})+({10-37,3 \over 18,96})({7,5-13 \over 33,35})+...+({70-37,3 \over 18,96})({20-13 \over 33,35}))\)

r = 0,13 

Para r menos ou igual a -1 tem correlação forte negativa a linha fica descrescente;

Para r maior ou igual a 1 tem correlação forte positiva a linha fica crescente;

e para valores entre -1 e 1 não existe correlação;

Com base nessas informções pode-se dizer que a renda familiar não esta diretamente relacionada com os gastos com alimentação é possivel ainda fazer analises pelos dados com o desvio padrão e media 

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Em Estatística, um coeficiente de correlação é um medida do grau de relação entre duas variáveis. O coeficiente de correlação mais usado é o Coeficiente de Correlação de Pearson, representado geralmente pela letra \(\rho\) ou pela variável \(r\), que avalia a intensidade e a direção da relação linear entre \(n\) valores emparelhados \(x\) e \(y\) de uma amostra. O coeficiente de correlação assume valores entre -1 e 1, que podem ser interpretados da seguinte forma

• \(r=1\) indica correlação positiva perfeita
• \(r=0\) indica ausência de correlação entre variáveis
• \(r=-1\) indica correlação negativa perfeita

O coeficiente pode ser calculado da seguinte forma:

\[r = \dfrac{{{S_{xy}}}}{{\sqrt {{S_{xx}} \cdot {S_{yy}}} }}\]

Em que:

\[{S_{xy}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{x_i} - \bar x} \right)\left( {{y_i} - \bar y} \right)} = n\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{y_i}} - \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} } \right)\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{y_i}} } \right)\]

\[{S_{xx}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \bar x} \right)}^2}} = n\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}^2} - {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} } \right)^2}\]

\[{S_{yy}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{y_i} - \bar y} \right)}^2}} = n\sum\limits_{i = 1}^n {{y_i}^2} - {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{y_i}} } \right)^2}\]

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Assim:

1559763631349

\[{S_{xy}} = n\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{y_i}} - \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} } \right)\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{y_i}} } \right) = 15 \times 8682,5 - 560 \times 195 = 21037,5\]

\[{S_{xx}} = n\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}^2} - {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} } \right)^2} = 15 \times 26000 - {560^2} = 76400\]

\[{S_{yy}} = n\sum\limits_{i = 1}^n {{y_i}^2} - {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{y_i}} } \right)^2} = 15 \times 3002 - {195^2} = 7005\]

\[r = \dfrac{{21037,5}}{{\sqrt {76400 \times 7005} }} = 0,909\]

O coeficiente de correlação neste caso é positivo. Logo, existe uma correlação positiva entre as variáveis renda familiar e gasto com alimentação. Além de ser positiva, a correlação entre as variáveis é muito forte, uma vez que o coeficiente de correlação possui um valor próximo da unidade.

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Portanto o coeficiente de correlação é \(r=0,909\). A correlação linear é positiva e muito forte.