Multiplicador de Lagrange (Máximos e Mínimos Condicionados)
Exercicio 56 da pagina 192, Calculo B - Diva, funçoes de 3 variaveis, por exemplo, primeiramente eu tenho qe Fx = Lambda(Gx), certo só que por exemplo nesse exercicio 56, F(x,y,z) = 2xy + 2xz + 2yz e s.a (ou G(x,y,z)) = xyz - 270; dado isso eu tenho que fazer z = 270/xy e subistituir na F(x,y,z)? E em seguida Calcular Fx, Fy e Lambda(Gx), Lambda(Gy) e encontrar valor pra x e y e para lambda? ou Não substituo o z = 270/xy, e monto um sistema tal que tenho Fx = 0, Fy=0 e Fz=0? e meu G(x,y,z) continuara sendo xyz - 270?
Enunciado:
Precisa-se construir um tanque com a forma de um paralelepipedo para estocar 270m³ de combustível, gastandoa menor quantidade de material em sua construção. Supondo que todas as paredes serão feitas com o mesmo material e terão a mesma espessura, determinar as dimensões do tanque.
A situação pode ser modelada por:
min 2xy + 2xz + 2yz
s.a xyz = 270
💡 1 Resposta
Guilherme Botelho
Respondi na sua outra pergunta !
RD Resoluções
Para determinarmos as arestas do tanque devemos realizar os cálculos abaixo, e verificar se o produto entre as mesmas dará o volume final de 270:
\(\begin{align} & D(x,y)=\left[ \begin{matrix} {{f}_{xx}} & {{f}_{xy}} \\ {{f}_{yx}} & {{f}_{yx}} \\ \end{matrix} \right] \\ & D(x,y)=\det \left[ \begin{matrix} {{f}_{xx}} & {{f}_{xy}} \\ {{f}_{yx}} & {{f}_{yx}} \\ \end{matrix} \right] \\ & D(x,y)=V(x,y) \\ & V(x,y)=\frac{xy(5-xy)}{2x+2y} \\ & V(x,y)=(3\sqrt[3]{10},3\sqrt[3]{10})\cdot z \\ & V(x,y)={{\left( 3\sqrt[3]{10} \right)}^{3}} \\ & V(x)=27\cdot 10 \\ & V(x)=270c{{m}^{3}} \\ \end{align} \)
Portanto, obtemos que\(\boxed{V\left( x \right) = 270{\text{ c}}{{\text{m}}^3}}\).
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