Utilize os multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos de máximo ou de mínimo da função f(x, y, z) = xyz sujeito a restrição 2xy + 2yz + x...

Para utilizar os multiplicadores de Lagrange, precisamos definir a função Lagrangeana L(x, y, z, λ) = xyz + λ(2xy + 2yz + xz - 12). Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de L em relação a x, y, z e λ, e igualá-las a zero: dL/dx = yz + λ(2y + z) = 0 dL/dy = xz + λ(2x + 2z) = 0 dL/dz = xy + λ(2y + x) = 0 dL/dλ = 2xy + 2yz + xz - 12 = 0 Resolvendo o sistema de equações acima, encontramos que x = y = z = 2 e λ = -1. Agora, precisamos verificar se esse ponto é um máximo ou um mínimo. Para isso, podemos calcular a matriz hessiana da função Lagrangeana: H = [0 y z 2y+z] [z x 0 2x+2z] [y 2y+x xy] [2y+z 2x+2z xy] Avaliando a matriz H no ponto crítico (2, 2, 2, -1), encontramos que os autovalores são -8, -4, 4 e 8. Como temos autovalores positivos e negativos, concluímos que esse ponto é um ponto de sela. Portanto, a função f(x, y, z) = xyz sujeita à restrição 2xy + 2yz + xz = 12 tem um ponto de sela em (2, 2, 2).