Solução Particular da Equação Diferencial

1) solução homogênea

y'''-2y''+y'=0

A equação característca é:

t³-2t²+t=0

Achando as três raízes:

t(t²-2t+1)=0

t¹=0

t²′³=1

Logo, Y_h(x)=A+Be^x+Cxe^x

2) solução particular:

Y_p(x)=Dx^4+Ex^3+Fx^2+Gx+Hx^2e^x

Y'_p(x)=4Dx^3Ex^2+2Fx+G+2Hxe^x+Hx^2e^x

Y''_p(x)=12Dx^2+6Ex+2F+2He^x+2Hxe^x+Hx^2e^x

Y'''_p(x)=24Dx+6E+2He^x+2He^x+2Hxe^x+2He^x+2Hxe^x+2Hxe^x+Hx^2e^x

Substituindo na equação temos:

24Dx+6E+6He^x+6Hxe^x+Hx^2e^x-24Dx^2-12Ex-4F-4He^x-4Hxe^x-2Hx^2e^x+4Dx^3Ex^2+2Fx+G+2Hxe^x+Hx^2e^x=x^3+2e^x

-> x^3(4D)+x^2(-24D+3E)+x(2F+6E+24D)+6E-4F+G+e^x(-4H+6H)=x^3+2e^x

Fazendo as comparações:

4D=1

D=¼

-24D+3E=0

-6+3E=0

E=2

2F+6E+24D=0

2F+12+6=0

F=-9

6E-4F+G=0

12+36+G=0

G=-48

2H=2

H=1

Portanto, a solução particular e:

Y_p(x)=¼x^4+2x³-9x²-48x+x²e^x

Primeiramente realizaremos os seguintes procedimentos:

Agora encontraremos os valores das variáveis:

Com os valores das variáveis encontrados, concluímos que a solução particular será:

Primeiramente realizaremos os seguintes procedimentos:

Agora encontraremos os valores das variáveis:

Com os valores das variáveis encontrados, concluímos que a solução particular será: