O balde e seu conteúdo tem massa de 60 kg . Se o comprimento do cabo é de 15 m, determinei a distancia de "y" da polia para a condição de equilíbrio

ewerwerwe

Os conceitos de decomposição de forças e geometria serão usados para resolução do problema.

---

Analisando as forças no ponto A, segundo a figura abaixo:

1557768715841

Onde \(T\) é a tração no cabo preso aos pontos B e C e \(P\) é a força peso.

Para que haja o equilíbrio das forças, a somatória delas deve ser zero.

Analisando o eixo \(x\):

\[T\cos (\theta ) - T\cos (\alpha ) = 0\]

Simplificando \(T\) , temos: \(\cos (\theta ) = \cos (\alpha )\)

Logo: \(\theta = \alpha\)

O desenho agora pode ser entendido como 2 triângulos conforme visto abaixo:

(Na cor vermelha, nomeamos os triângulos de (1) e (2))

1557781800684

Chamamos de \(x\) a medida da hipotenusa de (2), logo a hipotenusa de (1) vale \(15-x\), pois o fio tem \(15m\) de comprimento.

A medida da base do triângulo (2) vale, por Pitágoras: \(\sqrt {{x^2} - {y^2}}\)

Da base do triângulo (1), por Pitágoras: \(\sqrt {{{(15 - x)}^2} - {{(y - 2)}^2}}\)

1557782861118

Mas, o comprimento das 2 bases vale \(10m\)

Então temos: \(\sqrt {{{(15 - x)}^2} - {{(y - 2)}^2}} = \sqrt {{x^2} - {y^2}}\)

1557782948957

Agora, por semelhança de triângulos:

\[\dfrac{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }}{x} = \dfrac{{\sqrt {{{(15 - x)}^2} - {{(y - 2)}^2}} }}{{15 - x}} = \dfrac{{10 - \sqrt {{x^2} - {y^2}} }}{{15 - x}}\]

\[(15 - x)\sqrt {{x^2} - {y^2}} = 10x - x\sqrt {{x^2} - {y^2}}\]

Desenvolvendo a equação acima, temos:

\[{x^2}{\text{ }} = {\text{ }}1,8{y^2}\]
(eq. 1)

Aplicando Pitágoras no triângulo (1), temos:

\[{(15 - x)^2} = {\left[ {10 - \sqrt {{x^2} - {y^2}} } \right]^2} + {(y - 2)^2}\]

Desenvolvendo a equação, chegamos a:

\[{(30x - 4y - 121)^2} = 400({x^2} - {y^2})\]
(eq.2)

Substituindo a eq. 1 na eq. 2, temos:

\[{(900y - 121)^2} = 320{y^2}\]

Chegamos na equação de segundo grau, com as raízes de y:

\[y = 2,2m\]

\[y = 6,6m\]
(valor que queremos)

---

Portanto, vemos que o problema independe da massa do balde e o comprimento y para o sistema permanecer em equilíbrio vale \(\boxed{y = 6,6m}\)

6,6