Calcule a altura h, em metros, de mercúrio no manômetro diferencial instalado no ponto 1 da tubulação de 75 mm de diâmetro?

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Considerações:

• escoamento em regime permanente;
• fluido incompressível;
• seções 1 e 2 estão no mesmo nível (\(z=0\)).

Dados:

• seção 1 - tubulação:
• \(d_1= \text{diâmetro}=75 \text{ mm}\);
• seção 2 - bocal:
• \(d_2=25\text{ mm}\);
• \(v_2=\text{velocidade}=6,1\text{ m/s}\);
• Fluidos:
• fluido escoando: \(\gamma=\text{peso específico}=1000 \text{ kgf/}{\text{m}}^3\);
• mercúrio: \(\gamma_{Hg}=13600 \text{ kgf/}{\text{m}}^3\);
• Perda de carga: \(h_{lg}=2\text{ m}\);
• \(g=\text{aceleração da gravidade}=9,8\text{ m/}{\text{s}}^2\);
• variáveis desconhecidas:
• \(A_1\), \(A_2\): áreas das seções 1 e 2, respectivamente;
• \(Q\)=vazão volumétrica;
• \(p_1\), \(p_2\) : pressão nas seções 1 e 2, respectivamente.

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A velocidade na seção 1 pode ser calculada, considerando que a vazão deve ser a mesma nas duas seções:

\[Q_1\]
=\(Q_2\)

\[v_1 A_1=v_2 A_2\]

\[{v_1}\dfrac{{\pi d_1^2}}{4} = {v_2}\dfrac{{\pi d_2^2}}{4}\]

\[{v_1}\dfrac{{\pi {{\left( {75 {\text{ mm}}} \right)}^2}}}{4} = \left( {6,1 {\text{ m/s}}} \right)\dfrac{{\pi {{\left( {25 {\text{ mm}}} \right)}^2}}}{4}\]

\[{v_1} = 0,678 {\text{ m/s}}\]

A equação de Bernoulli estabelece que para este escoamento que:

\[\dfrac{{{p_1}}}{\gamma } + \dfrac{{v_1^2}}{{2g}} +\cancel{z_1}=\dfrac{{{p_2}}}{\gamma } + \dfrac{{v_2^2}}{{2g}} + \cancel{z_2} + {h_{lg}}\]

Assim:

\[\dfrac{{{p_1} - {p_2}}}{\gamma } = \dfrac{{v_2^2 - v_1^2}}{{2g}} + {h_{lg}}\]

\[\dfrac{{{p_1} - {p_2}}}{{{\text{1000}} {\text{kgf/}}{{\text{m}}^3}}} = \dfrac{{{{\left( {6,1 {\text{m/s}}} \right)}^2} - {{\left( {0,678 {\text{m/s}}} \right)}^2}}}{{2 \times 9,81 {\text{m/}}{{\text{s}}^2}}} + 2 {\text{m}}\]

\[{p_1} - {p_2} = 3873 {\text{ kgf/}}{{\text{m}}^2}\]

A altura \(h\) no manômetro diferencial pode ser obtida por:

\[p_1-p_2=(\gamma_{Hg}-\gamma)h\]

\[h = \dfrac{{{p_1} - {p_2}}}{{{\gamma _{Hg}} - \gamma }} = \dfrac{{3873 {\text{ kgf/}}{{\text{m}}^2}}}{{\left( {13600 - 1000} \right){\text{ kgf/}}{{\text{m}}^3}}} = 0,307 {\text{ m}}\]

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Portanto, a altura é \(h=0,307 \text{ m}\).