Velocidade escalar?

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Devemos nos lembrar que:

• A velocidade pode ser calculada pela equação \(V(t) = V_0 + a*t\), onde:
• \(V\) é a velocidade do objeto no instante \(t\);
• \(V_0\) é a velocidade do objeto no instante inicial;
• \(a\) é a aceleração que influencia na velocidade do objeto; e
• \(t\) é o tempo.
• E que o espaço pode ser calculado pela expressão \(S(t) = S_0 + V_0*t + \dfrac{a*t^2}{2}\), onde:
• \(S(t)\) é a posição do objeto no instante \(t\);
• \(V_0\) é a velocidade inicial do objeto;
• \(a\) é a aceleração que afeta a velocidade do objeto; e
• \(t\) é o instante de tempo.

Temos que o pacote é inicialmente carregado para cima a uma velocidade de \(6m/s\), e, depois, acelerado para baixo a uma aceleração negativa de \(10m/s^2\). Quando o pacote é solto pelo menino, irá subir um pouco ainda, até que sua velocidade inicial zere, depois irá cair.

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a) Para sabermos a altura máxima, vamos usar a primeira equação. Sabemos que, na altura máxima, a velocidade do pacote é zero (ou seja, \(V(t) = 0\)) Assim:

\[V(t) = V_0 + a*t\]

\[0 = 6 - 10*t\]

\[10t = 6\]

\[t = 6/10\]

\(t = 0,6s\).

Ou seja, o balão atinge a altura máxima no instante de 6 segundos. É importante saber que os 6 segundos em questão são após o momento inicial, que, no caso, é o momento em que o menino soltou o mesmo. Para sabermos a altura máxima, usamos a segunda equação:

\[S(t) = S_0 + V_0*t + \dfrac{a*t^2}{2}\]

\[S(t) = 8,2+6*t - \dfrac{10*t^2}{2}\]

\[S(0,6) = 8,2+6*0,6 - \dfrac{10*(0,6)^2}{2}\]

\[S(0,6) = 8,2+3,6 - 1,8\]

\(S(0,6) = 10,0m\).

Assim, a altura máxima será \(\boxed{10,0m}\).

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b) Consideraremos aqui outro caso: o balão inicia na sua altura máxima, onde sua velocidade é zero e sua altura 10,0 metros, e termina no chão, onde sua altura é 0 metros. Assim, usamos a segunda equação:

\[S(t) = S_0 + V_0*t + \dfrac{a*t^2}{2}\]

\[0 = 10,0 + 0*t - \dfrac{10*t^2}{2}\]

\[\dfrac{10*t^2}{2} = 10,0\]

\[10*t^2=10,0*2\]

\[10*t^2=20,0\]

\[t^2 = 20/10\]

\[t^2=2\]

\(t = \sqrt{2}s\).

Agora, calculamos a velocidade final:

\[V = V_0 + a*t\]

\[V = 0 - 10*\sqrt{2}\]

\[V = -10\sqrt{2}m/s\]

Portanto, a velocidade final é, em módulo, \(\boxed{10\sqrt{2}m/s}\).

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