Um octaedro tem seus vértices localizados nos centros das faces de um cubo de aresta 2. O volume do octaedro é?

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O segmento de reta \(LN\) (aresta do octaedro) pode ter seu comprimento calculado a partir das arestas do cubo, por Pitágoras, uma vez que tanto o vértice J como o N estão ligados com o centro da aresta BC, ou seja ambos segmentos tem tamanho \(x\) .

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Por Pitágoras, a fim de encontrar \(LN\):

\[\eqalign{ & L{N^2} = {x^2} + {x^2} \cr & L{N^2} = 2{x^2} \cr & LN = x\sqrt 2 }\]

Ademais, percebe-se que \(x\) é justamente a metade da aresta do cubo, de valor 2, logo \(x=1\) e \(LN = \sqrt 2\)

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Com este valor, encontra-se o valor da aresta de um octaedro, a seguir só aplicar na fórmula, a qual para uma aresta de valor \(n\) o seu volume \(V\) é dado por:

\[V = \dfrac{{{n^3}\sqrt 2 }}{3}\]
, como \(n=LN\)

\[V = \dfrac{{{{(\sqrt 2 )}^3}\sqrt 2 }}{3} = \dfrac{{{{(\sqrt 2 )}^4}}}{3} = \dfrac{{2.2}}{3} = \dfrac{4}{3}\]

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Portanto, o volume do octaedro, em unidades cúbicas é \(\boxed{V = \dfrac{4}{3}u.c}\)