Um tipo de balão usado para enfeitar festas juninas é o octaedro. Considere um octaedro regular com aresta de 6 cm. Calcule a área do sólido.

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O octaedro é um poliedro formado por oito triângulo equiláteros. Podemos calcular sua área através de cada um deles.

Primeiramente, precisamos utilizar o Teorema de Pitágoras para encontrar a altura \(h\) dos triângulos.

\[\begin{aligned} h &= \sqrt{a^2 - \bigg(\dfrac{a}{2}\bigg)^2} \\ &= \sqrt{a^2 - \dfrac{a^2}{4}} \\ &= \sqrt{\dfrac{4a^2-a^2}{4}} \\ &= \dfrac{\sqrt{3}a}{2} \end{aligned}\]

Com a altura encontrada, podemos calcular a área de cada uma das faces:

\[\begin{aligned} A &= \dfrac{h \cdot a}{2} \\ &= \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}a}{2}\cdot a}{2} \\ &= \dfrac{\sqrt{3}a^2}{4} \end{aligned}\]

Finalmente, a área do octaedro é a soma das áreas de suas faces. Tomando \(\sqrt{3}\) aproximadamente \(1,73\):

\[\begin{aligned} S &= 8 \dfrac{\sqrt{3}a^2}{4} \\ &= 2\sqrt{3}a^2 \\ &= 2 \sqrt{3} \cdot 6^2 \\ &= 2 \cdot 1,73 \cdot 36 \\ &= 124,56 \end{aligned}\]

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Assim, a área do octaedro é de \(\boxed{S=124,56 \text{ centímetros} = 1,24 \text{ metros}}\).