Indique a solução correta da equação diferencial: `dy/dx = sqrt(7x³).

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Para facilitar o cálculo, podemos reescrever \(\dfrac{dy}{dx}=\sqrt{7x^3}\) como \(\dfrac{dy}{dx}=\sqrt{7}x^{\dfrac{3}{2}}\). Fazendo a integração em relação a \(x\) de ambos os lados, temos

\[\begin{aligned} \int{\dfrac{dy}{dx}dx} &= \int{\sqrt{7}x^{\dfrac{3}{2}}dx} \end{aligned}\]

A integral de \(\dfrac{dy}{dx}\) em relação a \(x\) é \(y(x)\) e, como \(\sqrt{7}\) não depende de \(x\), podemos colocá-lo para fora da integral. Assim

\[\begin{aligned} y(x) &= \sqrt{7} \int{x^{\dfrac{3}{2}}dx} \\ &= \sqrt{7}\dfrac{x^{\dfrac{5}{2}}}{\dfrac{5}{2}}+C \\ &= \dfrac{2}{5} \sqrt{7x^5} + C \end{aligned}\]

Com \(C \in \R\) constante.

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Dessa forma, a solução da equação diferencial \(\dfrac{dy}{dx}=\sqrt{7x^3}\) é da forma \(\boxed{y(x)=\dfrac{2}{5}\sqrt{7x^5}+C}\).