Resolvendo o sistema de congruências lineares x ≡ 2 (mód.3); x ≡ 3(mód 4), encontramos:

Da primeira equação podemos escrever x = 3k + 2, para algum k inteiro.

Aí podemos substituir isso na equação de baixo:

3k + 2 ≡ 3 (mod 4)

Que é o mesmo que 3k ≡ 1 (mod 4)

Agora, como queremos o valor de k, temos que fazer com que o coeficiente do k seja igual a 1. Para isso, multiplique ambos os lados da igualdade por 3, pois 3x3 = 9 ≡ 1 (mod 4).

Portanto teremos:

9k ≡ 3 (mod 4), ou seja, k ≡ 3 (mod 4). Que é a mesma coisa que escrever k = 4z + 3, para z inteiro.

Agora é só substituir k na equação x = 3k + 2:

x = 3(4z + 3) + 2 = 12z + 9 + 2 = 12z + 11.

É isso :)