Resolva as seguintes congruências lineares: a) 5x ≡ 7 (mod 12). b) 2x ≡ 3 (mod 9). c) 7x ≡ 1 (mod 10). d) 2x ≡ 1 (mod 17). e) 5x ≡ 2 (mod 24). R....

Para resolver as congruências lineares, podemos utilizar o algoritmo de Euclides estendido. Segue abaixo as resoluções: a) 5x ≡ 7 (mod 12) Primeiro, encontramos o inverso multiplicativo de 5 (mod 12): 12 = 5.2 + 2 5 = 2.2 + 1 1 = 5 - 2.2 1 = 5 - (12 - 5.2).2 1 = 5.5 - 12.2 Então, o inverso multiplicativo de 5 (mod 12) é 5. Multiplicando ambos os lados da congruência por 5, temos: 25x ≡ 35 (mod 12) 1x ≡ 11 (mod 12) Portanto, a solução é x ≡ 11 (mod 12). b) 2x ≡ 3 (mod 9) Primeiro, encontramos o inverso multiplicativo de 2 (mod 9): 9 = 2.4 + 1 1 = 9 - 2.4 Então, o inverso multiplicativo de 2 (mod 9) é 5. Multiplicando ambos os lados da congruência por 5, temos: 10x ≡ 15 (mod 9) 1x ≡ 6 (mod 9) Portanto, a solução é x ≡ 6 (mod 9). c) 7x ≡ 1 (mod 10) Primeiro, encontramos o inverso multiplicativo de 7 (mod 10): 10 = 7.1 + 3 7 = 3.2 + 1 1 = 7 - 3.2 1 = 7 - (10 - 7.1).2 1 = 7.5 - 10.2 Então, o inverso multiplicativo de 7 (mod 10) é 3. Multiplicando ambos os lados da congruência por 3, temos: 21x ≡ 3 (mod 10) 1x ≡ 3 (mod 10) Portanto, a solução é x ≡ 3 (mod 10). d) 2x ≡ 1 (mod 17) Primeiro, encontramos o inverso multiplicativo de 2 (mod 17): 17 = 2.8 + 1 1 = 17 - 2.8 Então, o inverso multiplicativo de 2 (mod 17) é 9. Multiplicando ambos os lados da congruência por 9, temos: 18x ≡ 9 (mod 17) 1x ≡ 9 (mod 17) Portanto, a solução é x ≡ 9 (mod 17). e) 5x ≡ 2 (mod 24) Primeiro, encontramos o inverso multiplicativo de 5 (mod 24): 24 = 5.4 + 4 5 = 4.1 + 1 1 = 5 - 4.1 1 = 5 - (24 - 5.4).1 1 = 21.5 - 24.1 Então, o inverso multiplicativo de 5 (mod 24) é 21. Multiplicando ambos os lados da congruência por 21, temos: 105x ≡ 42 (mod 24) 9x ≡ 18 (mod 24) Dividindo ambos os lados da congruência por 3, temos: 3x ≡ 6 (mod 8) Multiplicando ambos os lados da congruência por 3, temos: 9x ≡ 18 (mod 8) 1x ≡ 2 (mod 8) Portanto, a solução é x ≡ 10 (mod 24).