Limite x tendendo a 0 de (tgx-x)/x^3

Por L'hopital, temos que se

\(L = \lim\limits_{x \to 0} {{\tan x - x} \over x^3} \)

Então, derivando em cima e embaixo:

\(L = \lim\limits_{x \to 0} {{\sec^2 x - 1} \over 3x^2} \)

Simplificando:

\(L = \lim\limits_{x \to 0} {{\tan^2 x} \over 3x^2} \)

Derivando mais uma vez:

\(L = \lim\limits_{x \to 0} {{2 \tan x\sec^2x} \over 6x} \)

Simplificando:

\(L = \lim\limits_{x \to 0} {{ \tan x\sec^2x} \over 3x} \)

Derivando mais uma vez:

\(L = \lim\limits_{x \to 0} {{ 2\sec^2x \tan^2 x + \sec^4 x} \over 3} \)

Aplicando o valor:

\(L = {{ 2\sec^2(0) \tan^2 (0) + \sec^4 (0)} \over 3} = 1/3\)

lim_x→0  [( tg x – x)/ x]^3 = lim_x→0 [ (tg x / x) – 1]^3 = lim_x→0 [ (senx / x). (1/cosx) – 1]^3 =

lim_x→0 [(1/ cosx) –1]^3 = [(1/ cos 0) – 1] = 1 – 1 = 0