Questão resolvida - Calcule o limite limite de x tendendo ao infinito de ((x-1)(x1))^x - limite fundamental exponencial - Cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Calcule o limite abaixo:
 
lim
x +∞→
x- 1
x+ 1
x
 
Resolução:
 
Subtituindo o limite; = =lim
x +∞→
x - 1
x + 1
x
+∞- 1
+∞+ 1
+∞( )
+∞
+∞
+∞
 é uma indeterminação, para "retirar" a indeterminação, vamos fazer a seguinte 
+∞
+∞
substituição; 
 
t = x + 1 x = t - 1; perceba que quando x tende ao inifinito, t também tendo ao infinito!→
 
Assim, o limite fica;
 
=lim
x +∞→
x - 1
x + 1
x
lim
t +∞→
t - 1 - 1
t
x
 
Reorganizando os termos, fica;
 
= = - = 1 -lim
t +∞→
t - 1 - 1
t
t-1( )
lim
t +∞→
t - 2
t
t-1( )
lim
t +∞→
t
t
2
t
t-1( )
lim
t +∞→
2
t
t-1( )
 
Usando as propriedades de potência: e sabendo que o limite do quociente é a =m-n( )
a
a
m
n
igual ao quociente dos limites, vem;
 
1 - = = =lim
t +∞→
2
t
t-1( )
lim
t +∞→
1 -
1 -
2
t
t
2
t
1 -
1 -
lim
t +∞→
2
t
t
lim
t +∞⏫⏪ 
2
t
1 -
1 -
lim
t +∞→
2
t
t
2
+∞
 
 
 
 
= = = 1 -
1 -
1 - 0
lim
t +∞→
2
t
t
1 -
1
lim
t +∞→
2
t
t
lim
t +∞→
2
t
t
 
Para resolver o limite resultante, devemos fazer outra substituição;
 
= - t = -2u, perceba que quando t tende ao infinito, u também tende ao infinito
1
u
2
t
→
 
Assim, o limite resultante fica;
1 - = 1 - - = 1 +lim
t +∞→
2
t
t
lim
u +∞→
1
u
-2u
lim
u +∞→
1
u
u -2
 
Do limite trigonométrico fundamental, temos que : 1 + = elim
u +∞→
1
u
u
 
Finalmente, o limite tem como resultado;
 
= e = e =lim
x +∞→
x - 1
x + 1
x
[ ]-2 -2
1
e
2
 
 
(Resposta )