Calculo numerico

Precisando de quantas questões? Entrar em contato. 81 9 9701 1759

\[\left( {\matrix{ n & {\sum\limits_i {{x_i}} } & {\sum\limits_i {{x_i}^2} } \cr {\sum\limits_i {{x_i}} } & {\sum\limits_i {{x_i}^2} } & {\sum\limits_i {{x_i}^3} } \cr {\sum\limits_i {{x_i}^2} } & {\sum\limits_i {{x_i}^3} } & {\sum\limits_i {{x_i}^4} } } } \right)\left( {\matrix{ {{b_0}} \cr {{b_1}} \cr {{b_2}} } } \right) = \left( {\matrix{ {\sum\limits_i {{y_i}} } \cr {\sum\limits_i {{x_i}{y_i}} } \cr {\sum\limits_i {{x_i}^2{y_i}} } } } \right)\]

---

Como foram dados 4 pontos, temos que \(n=4\). Para os elementos das matrizes, vamos expandir os somatórios e utilizar as coordenadas dos pontos para obter:

\[\left\{ \matrix{ \sum\limits_i {{x_i}} = 2 + 3 + 5 + 7 \cr = 17 \cr \sum\limits_i {{x_i}^2} = {2^2} + {3^2} + {5^2} + {7^2} \cr = 87 \cr \sum\limits_i {{x_i}^3} = {2^3} + {3^3} + {5^3} + {7^3} \cr = 503 \cr \sum\limits_i {{x_i}^4} = {2^4} + {3^4} + {5^4} + {7^4} \cr = 3.123 \cr \sum\limits_i {{y_i}} = 2 + 1 + 9 + 8 \cr = 20 \cr \sum\limits_i {{x_i}{y_i}} = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 5 \cdot 9 + 7 \cdot 8 \cr = 108 \cr \sum\limits_i {{x_i}^2{y_i}} = {2^2} \cdot 2 + {3^2} \cdot 1 + {5^2} \cdot 9 + {7^2} \cdot 8 \cr = 634 } \right.\]

---

Substituindo os valores dos somatórios na equação matricial anterior, temos:

\[\left( {\matrix{ 4 & {17} & {87} \cr {17} & {87} & {503} \cr {87} & {503} & {3.123} } } \right)\left( {\matrix{ {{b_0}} \cr {{b_1}} \cr {{b_2}} } } \right) = \left( {\matrix{ {20} \cr {108} \cr {634} } } \right)\]

---

Resolvendo o sistema pelo método de eliminação de Gauss, por exemplo, obtemos \({b_0} = - 7,0427\), \({b_1} = 4,4987\) e \({b_2} = - 0,3254\). Logo, a curva que se ajusta aos pontos é \(y = - 7,0427 + 4,4987x - 0,3254{x^2}\).

---

Portanto, a alternativa a. é a correta.