Seja α≠0 um real fixo. Verifique que a) ∫ sen ax dx=-1/α cos ax + k b) ∫ cos ax dx=1/α sen ax + k

Vamos começar realizando a substituição \(u = ax\). Derivando ambos os membros, encontramos \(dx = \dfrac{1}{a}du\).

Realizando essas substituições na integral, onde \(K\) é uma constante:

\[\eqalign{ \int {\sin \left( {ax} \right)dx} &= \int {\sin u} \cdot \dfrac{1}{a}du\cr&= \dfrac{1}{a}\int {\sin \left( u \right)du}\cr&= \dfrac{1}{a}\left( { - \cos u} \right) + K }\]

Voltando para a variável \(x\), podemos escrever:

\[\int {\sin \left( {ax} \right)dx} = - \dfrac{1}{a}\cos \left( {ax} \right) + K\]

Portanto, \(\boxed{\int {\sin \left( {ax} \right)dx} = - \dfrac{1}{a}\cos \left( {ax} \right) + K}\).

b)

Analogamente, fazendo \(u = ax\), teremos \(dx = \dfrac{1}{a}du\). Logo, substituindo na integral, sendo \(K\) uma constante:

\[\eqalign{ \int {\cos \left( {ax} \right)dx} &= \int {\cos u \cdot \dfrac{1}{a}du}\cr&= \dfrac{1}{a}\int {\cos \left( u \right)du}\cr&= \dfrac{1}{a}\sin u + K }\]

Voltando para a variável \(x\), podemos escrever:

\[\int {\cos \left( {ax} \right)dx} = \dfrac{1}{a}\sin \left( {ax} \right) + K\]

Portanto, \(\boxed{\int {\cos \left( {ax} \right)dx} = \dfrac{1}{a}\sin \left( {ax} \right) + K}\).

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