Determine a equação da circunferência que tem um de seus diâmetros determinados pelos pontos A(5,-1) e B(3,7)?

\[\eqalign{ & d = \sqrt {{{\left( { - 3 - 5} \right)}^2} + {{\left( {7 - 1} \right)}^2}} \cr & d = \sqrt {64 + 36} \cr & d = \sqrt {100} \cr & d = 10 \cr & r = 5 }\]

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Agora, encotraremos o ponto central da circunferência:

\[\eqalign{ & m = \left( {\dfrac{{ - 3 - 5}}{2},\dfrac{{7 - 1}}{2}} \right) \cr & m = \left( {\dfrac{{ - 8}}{2},\dfrac{6}{2}} \right) \cr & m = \left( { - 4,3} \right) \cr & a = - 4 \cr & b = 3 }\]

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Com o diâmetro encontrado, agora calcularemos a equação da circunferência:

\[\eqalign{ & {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {r^2} \cr & {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {5^2} \cr & {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25 }\]

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Portanto, a equação da circunferência será \(\boxed{{{\left( {x + 4} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} = 25}\).

Ambicioso
Equação genérica da circunferência:

(x-a)² + (y-b)² = r²

Centro C nas coordenadas (a,b) e raio r

Sendo a(-3,7) e b(5,1) os extremos do diâmetro, temos que calcular a distância entre os dois pontos:

D = 10

Como o diâmetro é 10, então o raio r é 5.
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Para encontrar o ponto central, basta achar o ponto médio entre A e B

M = {(-3-5)/2,(7-1)/2}
M = {-8/2,6/2}
M = {-4,3}

Então a = -4 e b = 3
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Substituindo em  (x-a)² + (y-b)² = r², temos

deixa positivo ai e salva