Determine a área de um losango de perímetro 52 cm , sabendo que uma de suas diagonais mede 10 cm ?

Tratando-se de losangos, sendo \(D\) a diagonal maior e \(d\) a diagonal menor, e admitindo que \(P\) e \(A\) são sua área e perímetro, respectivamente, ao impor \(d=10\text{ cm}\), vem que:

\[\eqalign{ & P = 4 \cdot \sqrt {{{\left( {\dfrac{d}{2}} \right)}^2} + {D^2}} \cr & 52{\text{ cm}} = 4 \cdot \sqrt {{{\left( {\dfrac{{10}}{2}} \right)}^2} + {D^2}} \cr & 52{\text{ cm}} = 4 \cdot \sqrt {25 + {D^2}} \cr & 13{\text{ cm}} = \sqrt {25 + {D^2}} \cr & 169{\text{ c}}{{\text{m}}^2} = 25{\text{ c}}{{\text{m}}^2} + {D^2} \cr & \cr & D = \sqrt {169{\text{ c}}{{\text{m}}^2} - 25{\text{ c}}{{\text{m}}^2}} \cr & D = \sqrt {144{\text{ c}}{{\text{m}}^2}} \cr & D = 12{\text{ cm}} }\]

Por fim:

\[\eqalign{ & A = \dfrac{{D \cdot d}}{2} \cr & = \dfrac{{\left( {12{\text{ cm}}} \right) \cdot \left( {10{\text{ cm}}} \right)}}{2} \cr & = 60{\text{ c}}{{\text{m}}^2} }\]

Portanto, a área do losango é de \(\boxed{60\text{ cm}^2}\).