seja o ponto P ( -3 ,7 ) pertencente a Circunferência de centro no ponto C ( 0,2). Qual é a equação tangente à Circunferência e que passa por P?​

\[x^{2}+y^{2}=r^{2}\]

onde \(r\) é o raio da circunferência.

Com os pontos dados, podemos encontrar o raio da circunferência em questão;

\[r=d(P,C)\]

a equação acima quer dizer que o raio é igual à distância entre o ponto \(P\) e o centro \(C\) da circunferência. Prosseguindo,

\[r = d(P,C) = \sqrt {{{( - 3)}^2} + {{(7 - 2)}^2}} = \sqrt {34}\]

Logo, a equação da circunferência em questão vale:

\[x^{2}+(y-2)^{2}=34\]

repare que o centro da circunferência se situa em \(C=(0,2)\), por isso a fórmula acima.

a equação tangente é dada por:

\[\eqalign{ y &= \sqrt {34 - {x^2}} + 2\cry' &= {{ - x} \over {\sqrt {34 - {x^2}} }} }\]

é a inclinação da reta tangente à circunferência.

Dessa forma, como a tangente passa por \(P\), sua equação terá forma:

\[\eqalign{&y={{ - x} \over {\sqrt {34 - {x^2}} }}\cdot x+b \\& 7={{ - (-3)} \over {\sqrt {34 - {(-3)^2}} }}\cdot (-3)+b \\& \Rightarrow b=\dfrac {26}{5}}\]

Portanto, a equação da reta tangente à circunferência e que passa por \(P\) é:

\[\boxed {y={{ 3} \over {5} }\cdot x+\dfrac {26}{5}}\]