(UERJ 2019) A figura ilustra três circunferências, de raios 1, 2 e 3, tangentes duas a duas nos pontos M, N e P.

Acesse o link, lá tem a videoaula da resolução:

http://educacionalplenus.com.br/resolucao-uerj-2019-2-exame-de-qualificacao-matematica/

Sabendo o valor dos raios das circunferências, percebemos que o triângulo ABC tem lados 3, 4 e 5, que o caracteriza como sendo retângulo com ângulo reto em B.

O ângulo em A é chamado de "a" e seu cosseno vale:

\(cos(a)={4 \over 5}\)

Para achar MN, vamos fazer a lei dos cossenos:

\(MN^2=AM^2+AN^2-2AM.AN.cos(a)\\ MN^2=9+9-2.3.3.0,8\\ MN=3,6\)