Sejam x,y e z os lados de um triagulo retangulo, onde x é a hipotenusa. Suponha que o triângulo tem perimetro igual a 6. Determine a expressao da

Além disso, podemos escrever que \(P=x+y+z=6\), em que \(P\) é o perímetro do triângulo. Escrevendo de outro modo, temos que:

\[y+z=6-x\]

Elevando ambos os lados da equação ao quadrado, resulta que:

\[{y^2} + 2yz + {z^2} = 36 - 12 + {x^2}\text{ (II)}\]

Além disso, como \(x\) é a hipotenusa, pode escrever também que:

\[{x^2} = {y^2} + {z^2} \text{ (III)}\]

Relacionando as equações \((\text{II})\) e \((\text{III})\), vem que:

\[\eqalign{ & {y^2} + 2yz + {z^2} = 36 - 12x + {y^2} + {z^2} \cr & 2yz = 36 - 12x \cr & yz = \dfrac{{12\left( {3 - x} \right)}}{2} \cr & yz = 6\left( {3 - x} \right) }\]

Por fim, substituindo tal resultado na equação\(\text{ (I)}\), resulta que:

\[\eqalign{ & A\left( x \right) = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot \left( {3 - x} \right) \cr & \boxed{A\left( x \right) = 3 \cdot \left( {3 - x} \right)} }\]