Sejam x,y e z os lados de um triagulo retangulo, onde x é a hipotenusa. Suponha que o triângulo tem perimetro igual a 6. Determine a expressao da

\[x^2=y^2+z^2 \,\,\,\,(I)\]

Como o perímetro do triângulo é igual a \(6\), tem-se a seguinte equação:

\[\begin{align} x+y+z&=6 \\ z&=6-x-y \,\,\,\,(II) \end{align}\]

Substituindo a equação \((II)\) na equação \((I)\), a equação resultante é:

\[\begin{align} x^2&=y^2+(6-x-y)^2 \\ x^2&=y^2+(36-6x-6y-6x+x^2+xy-6y+xy+y^2) \\ x^2&=y^2+36-12x-12y+x^2+y^2+2xy \\ 0&=2y^2+36-12x-12y+2xy \\ 0&=y^2+18-6x-6y+xy \\ 0&=y^2+xy-6y+18-6x \\ 0&=y(y+x-6)+18-6x \end{align}\]

Substituindo \(y+x-6=-z\):

\[\begin{align} 0&=y(y+x-6)+18-6x \\ 0&=-yz+18-6x \\ yz&=18-6x \,\,\,\,(III) \end{align}\]

Por ser um triângulo retângulo, a área \(A\) correspondente é a metade do produto dos catetos. Ou seja:

\[A={1 \over 2}yz \,\,\,\,(IV)\]

Substituindo a equação \((III)\) na equação \((IV)\), a equação de \(A(x)\) fica da seguinte forma:

\[\begin{align} A(x)&={1 \over 2}yz \\ &={1 \over 2}(18-6x) \\ &=9-3x \\ \end{align}\]

Concluindo, a área do triângulo retângulo em função da hipotenusa é \(\boxed{A(x)=9-3x}\).