Um automóvel segue uma trajetória retilínea com velocidade de 108 km por hora quando 40m metros a sua frente um idoso atravessa seu caminho. Sabendo

\[s = {s_0} + {v_0}t + \dfrac{{a \cdot {t^2}}}{2}\]

Em que \(s\) é a posição no instante \(t\), \(s_0\)a posição inicial, \(v_0\) a velocidade inicial e \(a\) a aceleração.

Lembrando que \(108{\text{ }}\dfrac{{{\text{km}}}}{{\text{h}}} = 30{\text{ }}\dfrac{{\text{m}}}{{\text{s}}}\), isolando o tempo e substituindo os dados do problema resulta que:

\[\eqalign{ & s - {s_0} = {v_0}t + \dfrac{{a{t^2}}}{2} \cr & 40 = 30t + \dfrac{{ - 6 \cdot {t^2}}}{2} \cr & - 3{t^2} + 30t - 40 = 0 \cr & \cr & a = - 3 \cr & b = 30 \cr & c - 40 \cr & \cr & t = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr & t = \dfrac{{ - 30 \pm \sqrt {{{30}^2} - 4 \cdot \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 40} \right)} }}{{2 \cdot \left( { - 3} \right)}} \cr & t = \dfrac{{ - 30 \pm \sqrt {420} }}{{ - 6}} \cr & t = \dfrac{{ - 30 \pm 20,49}}{{ - 6}} \cr & \cr & t' = \dfrac{{ - 30 + 20,49}}{{ - 6}} = 1,585{\text{ s}} \cr & t'' = \dfrac{{ - 30 - 20,49}}{{ - 6}} = 8,415{\text{ s}} }\]

Portanto, os tempos que satisfazem a equação são \(\boxed{t'=1,585\text{ s}}\) e \(\boxed{t''=8,415\text{ s}}\).