Dos pontos (x, y, z) cujas coordenadas satisfazem simultaneamente as equações x + 2y − z = 2 e 2x − y + z = 4, qual deles é o mais próximo do ponto P

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 2y - z = 2} \\ {2x - y + z = 4 } \end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {}&{\left( 1 \right)} \\ {}&{(2)} \end{array}\]

\[\text{equação } (1) + 2 \times {\text{equação }} (2)\]
:

\[5x + z = 10\]

\[z=-5x+10\]

\[\text{equação (1)}+\text{equação (2)}\]
:

\[3x+y=6\]

\[y=-3x+6\]

Assumindo que \(x=t\), obtemos a equação paramétrica para \(r\):

\[r: (t, -3t+6, -5t+10)\]

Assim, observa-se que \(r\) é uma reta cujo vetor diretor é:

\[\vec V=(1,-3,-5)\]

Considere um ponto \(P_1=(t_1,-3t_1+6,-5t_1+10)\) pertencente a reta \(r\). Se \(P_1\) for o ponto de \(r\) mais próximo de \(P=(4,-1,1)\), então o segmento \(P_1P\) representa a distância de \(P\) até \(r\). Como consequência, \(P_1P\) é perpendicular a \(r\) e o vetor \(\vec {P_1P}\) é perpendicular a \(\vec V\).

\[\vec {P_1P}=(4-t_1, -1-(-3t_1+6), 1-(-5t_1+10))=(-t_1+4,3t_1-5, 5t_1-9)\]

Do fato de que \(\vec {P_1P}\) e \(\vec V\) são perpendiculares, decorre que:

\[\vec {{P_1}P} \cdot \vec V = 0\]

\[(-t_1+4)(1) + (3t_1-7)(-3) + (5t_1-9)(-5)=0\]

\[(-t_1+4)+(-9t_1+21)+(-25t_1+45)=0\]

\[-35t_1+70=0\]

\[t_1=2\]

Logo:

\[P_1=(t_1,-3t_1+6,-5t_1+10)=(2, 0, 0)\]

Portanto, o ponto mais próximo de P e que satisfaz simultaneamente as duas equações apresentadas no enunciado é P₁=(2, 0, 0).