46- Duas lâmpadas ruins são misturadas com duas lâmpadas boas. As lâmpadas são testadas uma a uma, até que duas ruins sejam encontradas. Qual a

Para que a última seja encontrada no segundo teste, então a primeira deve ser encontrada no primeiro teste, então teremos apenas uma possibilidade de combinação:

\[\eqalign{ & {\text{Teste 1 = Lâmpada com defeito}} \cr & {\text{Teste 2 = Lâmpada com defeito}} \cr & {\text{Teste 3 = Lâmpada boa}} \cr & {\text{Teste 4 = Lâmpada boa}} }\]

Considerando que no teste 1 temos 2 lâmpadas com defeito entre 4 lâmpadas no total, então a probabilidade de tirar 1 lâmpada com defeito no primeiro teste será:

\[\eqalign{ {\text{P &= }}\dfrac{{n{\text{ possibilidades}}}}{{n{\text{ total}}}}\cr{\text{P &= }}\dfrac{2}{4} }\]

E no segundo teste, teremos apenas 3 lâmpadas no total, sendo 1 delas a com defeito, então a probabilidade de pegarmos uma lâmpada com defeito no segundo teste será:

\[\eqalign{ {\text{P &= }}\dfrac{{n{\text{ possibilidades}}}}{{n{\text{ total}}}}\cr{\text{P &= }}\dfrac{1}{3} }\]

Para termos a probabilidade total, basta multiplicar as duas probabilidades encontradas:

\[\eqalign{ {\text{P total &= }}\dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{1}{3}\cr{\text{P total &= }}\dfrac{{2 \cdot 1}}{{4 \cdot 3}}\cr{\text{P total &= }}\dfrac{2}{{12}}\cr{\text{P total &= }}\dfrac{1}{6} }\]

Concluímos que \(\boxed{{\text{P total = }}\dfrac{1}{6}}\), ou seja, de uma em seis.

b)

Para que a última seja encontrada no terceiro teste, então a primeira deve ser encontrada no primeiro ou segundo teste, então teremos apenas duas possibilidade de combinação:

1° Combinação:

\[\eqalign{ & {\text{Teste 1 = Lâmpada com defeito}} \cr & {\text{Teste 2 = Lâmpada boa}} \cr & {\text{Teste 3 = Lâmpada com defeito}} \cr & {\text{Teste 4 = Lâmpada boa}} }\]

2° Combinação:

\[\eqalign{ & {\text{Teste 1 = Lâmpada boa}} \cr & {\text{Teste 2 = Lâmpada com defeito}} \cr & {\text{Teste 3 = Lâmpada com defeito}} \cr & {\text{Teste 4 = Lâmpada boa}} }\]

Para a primeira combinação temos:

Probabilidade de a primeira ser com defeito:

\[\eqalign{ {\text{P &= }}\dfrac{{n{\text{ possibilidades}}}}{{n{\text{ total}}}}\cr{\text{P &= }}\dfrac{2}{4} }\]

Probabilidade de a segunda ser boa:

\[\eqalign{ {\text{P &= }}\dfrac{{n{\text{ possibilidades}}}}{{n{\text{ total}}}}\cr{\text{P &= }}\dfrac{2}{3} }\]

Probabilidade de a terceira ser com defeito:

\[\eqalign{ {\text{P &= }}\dfrac{{n{\text{ possibilidades}}}}{{n{\text{ total}}}}\cr{\text{P &= }}\dfrac{1}{2} }\]

Para a probabilidade total da primeira combinação vamos multiplicar as probabilidades encontradas:

\[\eqalign{ {\text{P1 total &= }}\dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2}\cr{\text{P1 total &= }}\dfrac{{2 \cdot 2 \cdot 1}}{{4 \cdot 3 \cdot 2}}\cr{\text{P1 total &= }}\dfrac{4}{{24}}\cr{\text{P1 total &= }}\dfrac{1}{6} }\]

Para a segunda combinação temos:

Probabilidade de a primeira ser boa:

\[\eqalign{ {\text{P &= }}\dfrac{{n{\text{ possibilidades}}}}{{n{\text{ total}}}}\cr{\text{P &= }}\dfrac{2}{4} }\]

Probabilidade de a segunda ser com defeito:

\[\eqalign{ {\text{P &= }}\dfrac{{n{\text{ possibilidades}}}}{{n{\text{ total}}}}\cr{\text{P &= }}\dfrac{2}{3} }\]

Probabilidade de a terceira ser com defeito:

\[\eqalign{ {\text{P &= }}\dfrac{{n{\text{ possibilidades}}}}{{n{\text{ total}}}}\cr{\text{P &= }}\dfrac{1}{2} }\]

Para a probabilidade total da segunda combinação vamos multiplicar as probabilidades encontradas:

\[\eqalign{ {\text{P2 total &= }}\dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2}\cr{\text{P2 total &= }}\dfrac{{2 \cdot 2 \cdot 1}}{{4 \cdot 3 \cdot 2}}\cr{\text{P2 total &= }}\dfrac{4}{{24}}\cr{\text{P2 total &= }}\dfrac{1}{6} }\]

Para termos a probabilidade total, basta somar a probabilidade total da primeira combinação com a probabilidade total da segunda combinação:

\[\eqalign{ {\text{P total &= }}\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6}\cr{\text{P total &= }}\dfrac{{1 + 1}}{6}\cr{\text{P total &= }}\dfrac{2}{6}\cr{\text{P total &= }}\dfrac{1}{3} }\]

Concluímos que \(\boxed{{\text{P total = }}\dfrac{1}{3}}\), ou seja, de uma em três.

c)

Para que a última seja encontrada no quarto teste, então a primeira deve ser encontrada no primeiro, segundo ou terceiro teste, então teremos três possibilidade de combinação:

1° Combinação:

\[\eqalign{ & {\text{Teste 1 = Lâmpada com defeito}} \cr & {\text{Teste 2 = Lâmpada boa}} \cr & {\text{Teste 3 = Lâmpada boa}} \cr & {\text{Teste 4 = Lâmpada com defeito}} }\]

2° Combinação:

\[\eqalign{ & {\text{Teste 1 = Lâmpada boa}} \cr & {\text{Teste 2 = Lâmpada com defeito}} \cr & {\text{Teste 3 = Lâmpada boa}} \cr & {\text{Teste 4 = Lâmpada com defeito}} }\]

3° Combinação:

\[\eqalign{ & {\text{Teste 1 = Lâmpada boa}} \cr & {\text{Teste 2 = Lâmpada boa}} \cr & {\text{Teste 3 = Lâmpada com defeito}} \cr & {\text{Teste 4 = Lâmpada com defeito}} }\]

Para a primeira combinação temos:

Probabilidade de a primeira ser com defeito:

\[\eqalign{ {\text{P &= }}\dfrac{{n{\text{ possibilidades}}}}{{n{\text{ total}}}}\cr{\text{P &= }}\dfrac{2}{4} }\]

Probabilidade de a segunda ser boa:

\[\eqalign{ {\text{P &= }}\dfrac{{n{\text{ possibilidades}}}}{{n{\text{ total}}}}\cr{\text{P &= }}\dfrac{2}{3} }\]

Probabilidade de a terceira ser boa:

\[\eqalign{ {\text{P &= }}\dfrac{{n{\text{ possibilidades}}}}{{n{\text{ total}}}}\cr{\text{P &= }}\dfrac{1}{2} }\]

Para a probabilidade total da primeira combinação vamos multiplicar as probabilidades encontradas:

\[\eqalign{ {\text{P1 total &= }}\dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2}\cr{\text{P1 total &= }}\dfrac{{2 \cdot 2 \cdot 1}}{{4 \cdot 3 \cdot 2}}\cr{\text{P1 total &= }}\dfrac{4}{{24}}\cr{\text{P1 total &= }}\dfrac{1}{6} }\]

Para a segunda combinação temos:

Probabilidade de a primeira ser boa:

\[\eqalign{ {\text{P &= }}\dfrac{{n{\text{ possibilidades}}}}{{n{\text{ total}}}}\cr{\text{P &= }}\dfrac{2}{4} }\]

Probabilidade de a segunda ser com defeito:

\[\eqalign{ {\text{P &= }}\dfrac{{n{\text{ possibilidades}}}}{{n{\text{ total}}}}\cr{\text{P &= }}\dfrac{2}{3} }\]

Probabilidade de a terceira ser boa:

\[\eqalign{ {\text{P &= }}\dfrac{{n{\text{ possibilidades}}}}{{n{\text{ total}}}}\cr{\text{P &= }}\dfrac{1}{2} }\]

Para a probabilidade total da segunda combinação vamos multiplicar as probabilidades encontradas:

\[\eqalign{ {\text{P2 total &= }}\dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2}\cr{\text{P2 total &= }}\dfrac{{2 \cdot 2 \cdot 1}}{{4 \cdot 3 \cdot 2}}\cr{\text{P2 total &= }}\dfrac{4}{{24}}\cr{\text{P2 total &= }}\dfrac{1}{6} }\]

Para a terceira combinação temos:

Probabilidade de a primeira ser boa:

\[\eqalign{ {\text{P &= }}\dfrac{{n{\text{ possibilidades}}}}{{n{\text{ total}}}}\cr{\text{P &= }}\dfrac{2}{4} }\]

Probabilidade de a segunda ser boa:

\[\eqalign{ {\text{P &= }}\dfrac{{n{\text{ possibilidades}}}}{{n{\text{ total}}}}\cr{\text{P &= }}\dfrac{1}{3} }\]

Probabilidade de a terceira ser com defeito:

\[\eqalign{ {\text{P &= }}\dfrac{{n{\text{ possibilidades}}}}{{n{\text{ total}}}}\cr{\text{P &= }}\dfrac{2}{2} }\]

Para a probabilidade total da segunda combinação vamos multiplicar as probabilidades encontradas:

\[\eqalign{ {\text{P2 total &= }}\dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{2}\cr{\text{P2 total &= }}\dfrac{{2 \cdot 1 \cdot 2}}{{4 \cdot 3 \cdot 2}}\cr{\text{P2 total &= }}\dfrac{4}{{24}}\cr{\text{P2 total &= }}\dfrac{1}{6} }\]

Para termos a probabilidade total, basta somar a probabilidade total da primeira combinação com a probabilidade total da segunda combinação e da terceira combinação:

\[\eqalign{ {\text{P total &= }}\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6}\cr{\text{P total &= }}\dfrac{{1 + 1 + 1}}{6}\cr{\text{P total &= }}\dfrac{3}{6}\cr{\text{P total &= }}\dfrac{1}{2} }\]

Concluímos que \(\boxed{{\text{P total = }}\dfrac{1}{2}}\), ou seja, de uma em duas.