Todas: 15 !/ 3! * 12! = 455

Brancas: 8! / 3! * 5! = 56
Pretas: 4! / 3! * 1! = 4
Amarelas: 1 grupo.

455 - 56 = 399
399 - 4 = 395
395 - 1 = 394

 Todos os grupos possíveis de 3 bolas: Combinação de 15 bolas tomadas em grupos de 3 = 15 ! / 3! . 12 ! = 455

Porém vc só quer bolas com cores diferentes.

grupos de 3 bolas brancas: Combinação de 8 em grupos de 3 = 8! / 3! . 5! = 56

grupos de 3 bolas pretas: Combinação de 4 em grupos de 3 = 4! / 3! . 1! = 4

grupos de 3 bolas amarelas : Só tem 1 grupo possível (só tem 3 bolas amarelas)

Assim do total de casos (394) vc deve subtrair estes casos de bolas com cores iguais:

455 - 56 - 4 - 1 = 394

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Assim, a quantidade máxima de maneiras de organizar as 15 bolas em grupos de 3 é dada por
\({C_{15,3}}\)
Porém, não queremos grupos que tenham uma única cor. Assim, devemos subtrair de
\({C_{15,3}}\)
as quantidades de grupos formados por bolas brancas (
\({C_{8,3}}\)
), pretas (
\({C_{4,3}}\)
) e amarelas (
\({C_{3,3}}\)
). Logo, temos:

\[\eqalign{ {C_{15,3}} - {C_{8,3}} - {C_{4,3}} - {C_{3,3}} &= \dfrac{{15!}}{{3!\left( {15 - 3} \right)!}} - \dfrac{{8!}}{{3!\left( {8 - 3} \right)!}} - \dfrac{{4!}}{{3!\left( {4 - 3} \right)!}} - \dfrac{{3!}}{{3!\left( {3 - 3} \right)!}} \cr &= \dfrac{{15!}}{{3!12!}} - \dfrac{{8!}}{{3!5!}} - \dfrac{{4!}}{{3!1!}} - \dfrac{{3!}}{{3!0!}} \cr &= \dfrac{{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12!}}{{6 \cdot 12!}} - \dfrac{{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}}{{6 \cdot 5!}} - \dfrac{{4 \cdot 3!}}{{3!}} - \dfrac{{3!}}{{3!}} \cr &= \dfrac{{15 \cdot 14 \cdot 13}}{6} - 8 \cdot 7 - 4 - 1 \cr &= 394 }\]

Portanto, temos
\(\boxed{394{{\ maneiras}}}\)