Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de R2.

1. 
   \(\overrightarrow 0 \in W\)
   
2. 
   \(\forall u,v \in W,u + v \in W\)
   
3. 
   \(\forall u \in W,\alpha u \in W,\alpha \in R$\)
   

Logo, para que
\(W\)
seja um subespaço ele precisa satisfazer essas 4 propriedades. A primeira é trivial, basta analisar os próprios vetores, a segunda diz que o vetor nulo deve pertencer a
\(W\)
a terceira mostra que a soma de dois vetores deve permanecer dentro de
\(W\)
e a última fala que um vetor multiplicado por um escalar real o resultado deve estar dentro de
\(W\)
Analisando as alternativas:

• a):
  \(\left\{ {{{({x_1},{x_2})}^T}} \right\}|{x_1} + {x_2} = 0\)
  

1. Aplicando
\({x_1} = 0\)
e
\({x_2} = 0\)
(vetor nulo), temos
\((0,0) = \overrightarrow 0\)
logo o vetor nulo pertence ao subespaço;

1. Tomando
   \(u = ({x_1},{-x_1})\)
   e
   \(v = ({x_1}',-{x_1}')\)
   somando eles obtemos o vetor
   \(u + v = ({x_1} + {x_1}', - ({x_1} + {x_1}'))\)
   que pertence ao subespaço já que o segundo termo é menos o primeiro;
2. Tomando
   \(\alpha \in R$\)
   e
   \(u = ({x_1}, - {x_1})\)
   
   \(\alpha u = (\alpha {x_1}, - \alpha {x_1})\)
   que pertence ao subespaço.

Como foram satisfeita as 3 propriedades,
\(\left\{ {{{({x_1},{x_2})}^T}} \right\}|{x_1} + {x_2} = 0\)
é subespaço de
\({R^2}\)

• b):
  \(\left\{ {{{({x_1},{x_2})}^T}} \right\}|{x_1}{x_2} = 0\)
  

1. Aplicando
\({x_1} = 0\)
e
\({x_2} = 0\)
temos
\((0,0) = \overrightarrow 0\)
logo o vetor nulo pertence a ao subespaço;

1. Dado que a regra é um produto, ela não irá influenciar negativamente nesta propriedade.
2. Tomando
   \(\alpha \in R$\)
   e
   \(u = ({x_1}, {x_2})\)
   
   \(\alpha u = (\alpha {x_1}, \alpha {x_2})\)
   que pertence ao subespaço.

Como foram satisfeita as 3 propriedades,
\(\left\{ {{{({x_1},{x_2})}^T}} \right\}|{x_1}{x_2} = 0\)
é subespaço de
\({R^2}\)

• c):
  \(\left\{ {{{({x_1},{x_2})}^T}} \right\}|{x_1} = 3{x_2}\)
  

1. Aplicando
\({x_1} = 0\)
e
\({x_2} = 0\)
temos
\((0,0) = \overrightarrow 0\)
logo o vetor nulo pertence a ao subespaço;

1. Tomando
   \(u = (3{x_2},{x_2})\)
   e
   \(v = (3{x_2}',{x_2}')\)
   somando eles obtemos o vetor
   \(u + v = (3({x_2} + {x_2}'), ({x_2} + {x_2}'))\)
   que pertence ao subespaço já que o primeiro termo é três vezes o segundo;
2. Tomando
   \(\alpha \in R$\)
   e
   \(u = (3{x_2}, {x_2})\)
   
   \(\alpha u = (3\alpha {x_2}, \alpha {x_2})\)
   que pertence ao subespaço.

Como foram satisfeita as 3 propriedades,
\(\left\{ {{{({x_1},{x_2})}^T}} \right\}|{x_1} = 3{x_2}\)
é subespaço de
\({R^2}\)

• d): O processo é análogo para determinar se este caso é um subespaço de
  \({R^2}\)