Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de R2'2.

b) \(As\ matrizes\ triangulares\ inferiores\ 2\times 2 são\ do\ tipo\ :\\ A=\left[ \begin{array}{lll} a_{11} & 0 \\ a_{21} & a_{22} \ \ \end{array} \right]_{2 \times 2}\\ Para\ ser\ subespaço\ vetorial\ devem\ ser\ satisfeitas:\\ i) O\ elemento\ neutro\in ao\ subespaço?\\ Sim, pois\ a\ matriz\ 2\times 2 nula\ está\ nesse\ conjunto\ quando:\\ A=\left[ \begin{array}{ll} {0} & {0} \\ {0} & {0} \\ \end{array} \right]_{3 \times 3}, quando\ a_{11}=a_{21}=a_{22}=0\\ \\ ii) Pense\ em\ u,v \in( espaço\ das\ matrizes\ 2\times 2)=M_2\times_{2}, sendo:\\ u=\left[ \begin{array}{lll} a & 0 \\ b & c \ \ \end{array} \right]_{2 \times 2}e\ v=\left[ \begin{array}{lll} d & 0 \\ e & f \\ \end{array} \right]_{2 \times 2}, repare\ que\ essas\ matrizes\ são\ triangulares\ inferiores!\ cosidere\ agora\ \lambda\in\mathbb{R}\\ u+\lambda\times v\in M_2\times_2?\\ =\left[ \begin{array}{lll} a+\lambda d & 0 \\ b+\lambda e & c+\lambda f \\ \end{array} \right]_{2 \times 2}= \left[ \begin{array}{lll} a & 0 \\ b & c \\ \end{array} \right]_{2 \times 2}+ \left[ \begin{array}{lll} \lambda d & 0 \\ \lambda e & \lambda f \\ \end{array} \right]_{2 \times 2}= \left[ \begin{array}{lll} a & 0 \\ b & c \\ \end{array} \right]_{2 \times 2}+ \lambda \left[ \begin{array}{lll} d & 0 \\ e & f \\ \end{array} \right]_{2 \times 2}= u+\lambda v\\ Portanto, como\ foram\ satisfeitas\ as\ duas \ condições\ anteriores:\\ O\ conjunto\ de\ todas\ as\ matrizes\ triangulares\ inferiores \in M_2\times_2(que\ é\ o\ espaço) \)

Tente fazer as outras seguindo esses mesmos passos:

O elemento neutro deve pertencer ao subespaço,

e a soma de dois elementos do subespaço (u+v) com o lambida deve estar contido também!

Isso é uma questão de prática para ir entendendo os conceitos, no começo é bem estranho mesmo!

b) Sabemos que quando somamos duas matrizes triangulares inferiores, composta por um múltiplo escalar de uma matriz triangular inferior e uma matriz inferior, o conjunto formado pelas matrizes triangulares inferiores pertencem ao subespaço vetorial.

c) Este conjunto não é do subespaço vetorial, pois quando temos duas matrizes A e B ambas (dois x dois), a (um,dois) igual a um e b(um,dois) igual a um, a soma dessas matrizes nos retorna coeficientes (um,dois) igual a dois, assim não pertencem ao subespaço vetorial.

d) Um conjunto formado por todas as matrizes B (dois x dois), em que b(um,um) igual a zero, são um subespaço vetorial.

e) Temos que matrizes simétricas dois por dois formam conjuntos que são um subespaço vetorial, aliás todos os conjuntos.

f) Conjuntos de matrizes singulares dois por dois nao sao um subespaço vetorial.