em um triangulo ABC são dados os vertices A(4,1), o baricentro G=(-2,0 e o ponto M=(2,-1) médio do lado AB. Determine as coordenadas do vértice C

\(Baricentro\ de\ um\ triângulo\ no\ plano\ cartesiano\ é:\\ Baricentro=(\frac{x_a+x_b+x_c}{3},\frac{y_a+y_b+y_c}{3})\\ Para\ achar\ o\ ponto\ "B"\ basta\ analisarmos\ o\ ponto\ médio M, assim:\\ (2,-1)=(\frac{4+x_b}{2},\frac{1+y_b}{2}), portanto, por\ igualdade, teremos:\\ \frac{4+x_b}{2}=2 \rightarrow x_b=0\\ \frac{1+y_b}{2}=-1\rightarrow y_b=-3\\ Isso\ implica\ que\ 'B' tem\ coordenadas\ (0,3)\\ Agora, substituindo\ na\ fórmul\ do\ baricentro, temos:\\ (-2,0)=(\frac{4+0+x_c}{3},\frac{1+(-3)+y_c}{3}, igualando\ como\ fizemos\ acima:\\ \frac{4+x_c}{3}=-2\rightarrow x_c=-10\\ \frac{-2+y_c}{3}=0\rightarrow y_c=2\\ \textbf{coordenadas do ponto C(-10,2)} \)

A partir do ponto médio do lado
\(AB\)
e as coordenadas de
\(A\)
, podemos definir
\(B(x_B,y_B)\)
, pois é a média das coordenadas dos pontos
\(A\)
e
\(B\)
. Assim, temos
\(M(2,-1)=(\dfrac{4+x_b}{2},\dfrac{1+y_b}2)\)
. Logo,
\(B(0,-3)\)
.

Sabendo que
\(G(-2,0)\)
e
\(G(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3})\)
, escrevemos:

\[\left\{\begin{array}{c} 4+0+x=-6\\1-3+y=0\end{array}\right.\]

Assim, encontramos as coordenadas do ponto
\(C\)
,
\(\boxed{C(-10,2)}\)
.