Um trilho tem uma altura que é função da posição horizontal x, dada por:

Queremos saber em quais posições iniciais \(x_0\) devemos colocar uma bola de gude para termos um equilíbrio estável e um equilíbrio instável. Quando colocamos um objeto em uma posição de equilíbrio estável, ele retornará a sua posição inicial ao sofrer uma perturbação, enquanto no equilíbrio instável ele se afastará continuamente da posição de equilíbrio até atingir um novo equilíbrio.

As posições de equilíbrio e o tipo de equilíbrio são encontrados pela primeira e segunda derivada da energia potencial, respectivamente. As raízes da primeira derivada serão os pontos de equilíbrio, enquanto o sinal da segunda derivada nesses pontos nos dirá se ele é estável ou instável.

A energia potencial será \(E_p(x)=m\cdot g\cdot h(x)\), sendo \(m\) a massa da bola de gude e \(g\) a aceleração da gravidade. Assim, temos:

\[\dfrac{dE_p}{dx}=mg\dfrac{dh}{dx}=mg(3x^2+6x-24)\]

As raízes dessa equação serão as raízes de \(x^2+2x-8=0\). Logo, \(\boxed{x_1=2}\) e \(\boxed{x_2=-4}\) são os pontos de equilíbrio.

Agora fazemos:

\[\dfrac{d^2E_p}{dx^2}=mg\dfrac{d^2h}{dx^2}=mg(6x+6)\]

Avaliamos essa equação nos pontos de equilíbrio, sendo \(\dfrac{d^2E_p(x_1)}{dx^2}=18>0\) e \(\dfrac{d^2E_p(x_2)}{dx^2}=-18<0\). Logo, temos equilíbrio estável em \(x_1\) e equilíbrio instável em \(x_2\).

Portanto, a alternativa correta é a letra (b).

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