Circunferência passa pelo ponto...?

Question

Andre Smaira · Answer

Cada alternativa será testada individualmente. Para isso, sabe-se que uma circunferência de centro

\((x_0,y_0)\)

e raio

\(r\)

possui a seguinte equação padrão:

$\[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\]$

Como o enunciado diz que $$r=3$$ a equação anterior fica da seguinte forma:

$\[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=9\]$

a) $$x^2+ y^2+4x-2y+9=0$$ : reorganizando a equação para a forma padrão, a equação resultante é:

$\eqalign{ x^2+ y^2+4x-2y+9&=0 \cr (x^2+4x)+ (y^2-2y)&=-9 \cr (x^2+4x+4)+ (y^2-2y+1)&=-9+4+1 \cr (x+2)^2+ (y-1)^2&=-4 \cr }$

Como o termo à direita é diferente de $$9$$ a opção A está errada.

b) $$x^2+ y^2-4x+2y=9$$ : reorganizando a equação para a forma padrão, a equação resultante é:

$\eqalign{ x^2+ y^2-4x+2y&=9 \cr (x^2-4x)+ (y^2+2y)&=9 \cr (x^2-4x+4)+ (y^2+2y+1)&=9+4+1 \cr (x-2)^2+ (y+1)^2&=14 \cr }$

Como o termo à direita é diferente de $$9$$ a opção B está errada.

c) $$x^2+ y^2+4x-6y+4=0$$ : reorganizando a equação para a forma padrão, a equação resultante é:

$\eqalign{ x^2+ y^2+4x-6y+4&=0 \cr (x^2+4x)+ (y^2-6y)&=-4 \cr (x^2+4x+4)+ (y^2-6y+9)&=-4+4+9 \cr (x+2)^2+ (y-3)^2&=9 \cr }$

Substituindo o ponto $$(-2;3)$$ o resultado é:

$\eqalign{ (x+2)^2+ (y-3)^2&=9 \cr (-2+2)^2+ (3-3)^2&=9 \cr 0^2+ 0^2&=9 \cr 0&=9\,\,\,\,{\ (Falso)} }$

Como a circunferência $$(x+2)^2+ (y-3)^2=9$$ não passa pelo ponto $$(-2;3)$$ a opção C está errada.

d) $$x^2+ y^2+2x+6y+13=0$$ : reorganizando a equação para a forma padrão, a equação resultante é:

$\eqalign{ x^2+ y^2+2x+6y+13&=0 \cr (x^2+2x)+ (y^2+6y)&=-13 \cr (x^2+2x+1)+ (y^2+6y+9)&=-13+1+9 \cr (x+1)^2+ (y+3)^2&=-3 \cr }$

Como o termo à direita é diferente de $$9$$ a opção D está errada.

Resposta correta: e) N.D.A.

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