4.9. Determine uma equação da esfera que tem por diâmetro o segmento de extremos A(8,0,3) e B (-6,2, 5).

\[\left( {x{\ } - {\ }a} \right){\ } + {\ }\left( {y{\ } - {\ }b} \right){\ } + {\ }\left( {z{\ } - {\ }c} \right){\ } = {\ }r\]

O ponto central da esfera é o ponto médio do segmento que define o diâmetro.

\[\eqalign{ & Pc{\ } = {\ }\left( {A{\ } + {\ }B} \right)/2 \cr & Pc{\ } = {\ }\left( {\left( {8{\ } - {\ }6} \right),{\ }\left( {0{\ } + {\ }2} \right),{\ }\left( {3{\ } + {\ }5} \right)} \right)/2 \cr & Pc{\ } = {\ }\left( {2,2,8} \right)/2 \cr & Pc{\ } = {\ }\left( {1,1,4} \right) }\]

Logo:

\[a{\ } = {\ }1,{\ }b{\ } = {\ }1,{\ }c{\ } = {\ }4\]

O raio é metade da norma do diâmetro:

\[\eqalign{ & R{\ } = {\ }\left| D \right|/2 \cr & R{\ } = {\ }\surd \left( {\left( {8{\ } + {\ }6} \right){\ } + {\ }\left( {0{\ } - {\ }2} \right){\ } + {\ }\left( {3{\ } - {\ }5} \right)} \right)/2 \cr & R{\ } = {\ }\surd \left( {196{\ } + {\ }4{\ } + {\ }4} \right) \cr & R{\ } = {\ }204 }\]

Portanto, a equação será:

\[\boxed{\left( {x{\ } - {\ }1} \right){\ } + {\ }\left( {y{\ } - {\ }1} \right){\ } + {\ }\left( {z{\ } - {\ }4} \right){\ } = {\ }204}\]