O que é derivação implícita?

 Dizemos que y é uma função implícita de x, ou que a relação dada define y implicitamente como uma função de x. É talvez surpreendente que possamos calcular a derivada de uma função implícita sem explicitar primeiro a variável y.

Derivação implícita

As equações podem ser escritas de forma explícita, ou seja, a variável dependente y está isolada, ou de forma implícita, onde a variável dependente y não está isolada . Um exemplo de função na forma implícita é a equação da circunferência  . Deste modo, neste post apresenta-se como fazer a Derivação implícita de uma equação.

Até aqui estamos trabalhando com equações explícitas ou funções na forma explícita, em que f(x)=y estava isolada de uma lado da equação

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Entretanto, como realizar a derivação para equações implícitas ou na forma implícita, onde não temos a variável y isolada?

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A ideia é aplicar a derivada em relação a x em ambos os lados da equação, da seguinte forma:

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 Pelas propriedades das derivadas a derivada da soma é igual a soma das derivadas, assim:

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Para facilitar na explicação, resolve-se cada uma das derivadas separadamente e no final retorna-se à equação original substituindo cada termo.

A primeira delas resolve-se aplicando a derivada da potência dada por:

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A segunda derivada tem-se uma função y que é dependente de x. Deste modo, ao aplicar a regra da cadeia obtém-se:

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A terceira derivada tem-se o produto de duas funções, por isto aplica-se a propriedade da derivada do produto para obter:

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Em seguida, aplica-se a regra da cadeia ao primeiro termo e a derivada da potência no segundo para ter-se:

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Por fim, a derivada do termo que está do outro lado da igualdade, que é a derivada de uma constante 

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Concluído o cálculo de todas derivadas, deve-se substituir ao problema original   . Portanto, tem-se: 

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Agrupando os termos que contém as derivadas e isolando obtém-se:

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