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Exercícios de Equação de Bernoulli, Tensão de Cisalhamento, Medidores de Vazão (Pitot, venturi) resolvidos? Obrigada

💡 1 Resposta

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Ton Silva

A figura abaixo apresenta um sifão. Sabendo que a pressão no ponto S do sifão deve ser maior que – 60 kPa em pressão relativa e desprezando as perdas de carga determine a velocidade do fluido no sifão e a máxima altura que o ponto S pode ter em relação ao ponto A.

ESQUEMA DO EXERCÍCIO 1

Resolução


Para a resolução da questão, vamos inicialmente determinar a velocidade de fluxo no sifão.

Sabendo que a velocidade de escoamento em todo o sifão é a mesma, podemos utilizar a equação de Bernoulli entre os pontos A e B para determinar tal velocidade. Temos então que:

\mathrm{{z_A} + \dfrac{{v_A^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_A}}}{\gamma } = {z_B} + \dfrac{{v_B^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_B}}}{\gamma }}


zA

​+2⋅g


vA

2

​+γ


pA

​=zB

​+2⋅g


vB

2

​+γ


pB

Como temos que a pressão em ambos os pontos é a própria pressão atmosférica e que a velocidade no ponto A é nula, temos:

\mathrm{{z_A} = \dfrac{{v_B^2}}{{2 \cdot g}}}


zA

​=2⋅g


vB

2

\mathbf{{v_B} = 5,66m/s}

vB

​=5,66m/s

Agora que já temos o valor da velocidade do fluxo no sifão, podemos aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos A e S.

Como temos que a pressão mínima no ponto S é -60 kPa e considerando agora o plano horizontal de referência passando pelo ponto A, temos:

\mathrm{0 = {z_S} + \dfrac{{5,{{66}^2}}}{{2 \cdot g}} - \dfrac{{60 \cdot {{10}^3}}}{{{{10}^4}}}}


0=zS

​+2⋅g


5,662

​−104


60⋅103

\mathbf{{z_S} = 4,4m}

zS

​=4,4m


Exercício 2

Calcule a vazão de escoamento no conduto apresentado na figura abaixo. Dados:

  • \mathrm{\gamma _a}
  • γa
  • ​: 10 kN/m³;
  • \mathrm{\gamma _m}
  • γm
  • ​ : 70 kN/m³;
  • A: 400 cm²;
  • p2: 20 kPa;
  • g: 10 m/s².

ESQUEMA DO EXERCÍCIO 2

Resolução

Inicialmente, iremos demarcar na figura os pontos notáveis que iremos utilizar durante a questão para mais fácil entendimento no decorrer da mesma.

Os pontos foram escolhidos por serem pontos de mudança de fluido (água e fluido manométrico) ou por serem pontos que se sabe características como velocidade e pressão.

Logo, temos o seguinte esquema:

ESQUEMA PARA RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2

A questão pede que se determine a vazão do escoamento, ou seja, precisamos determinar a velocidade de escoamento.

Então, vamos aplicar a equação de Bernoulli para os pontos 1 e 5 do escoamento. Temos:

\mathrm{{z_1} + \dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = {z_5} + \dfrac{{v_5^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_5}}}{{{\gamma _a}}}}


z1

​+2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=z5

​+2⋅g


v5

2

​+γa


p5

Como o ponto 5 possui velocidade nula, nele atua somente a pressão atmosférica e ele encontra-se numa cota 3,60 m acima do ponto 1, podemos desenvolver a equação para:

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=3,60m

Como não temos os valores de v1 e nem de p1, não conseguimos desenvolver, por ora, tal equacionamento.

Porém, temos um tubo U entre os pontos 1 e 2 e foi dada a pressão no ponto 2, então, podemos utilizar a lei de Stevin entre os pontos 1 e 2 para determinarmos a pressão no ponto1 e, finalmente, chegarmos a velocidade nesse ponto. Para isso, faremos uso dos pontos 3 e 4. Temos então:

\mathrm{{p_3} - {p_1} = {\gamma _a} \cdot h}

p3

​−p1

​=γa

​⋅h

\mathrm{{p_4} - {p_3} = - {\gamma _m} \cdot 0,2}

p4

​−p3

​=−γm

​⋅0,2

\mathrm{{p_2} - {p_4} = - {\gamma _a} \cdot \left( {h - 0,2} \right)}

p2

​−p4

​=−γa

​⋅(h−0,2)

Logo, temos que:

\mathrm{{p_2} - {p_1} = - 0,2 \cdot \left( {{\gamma _m} - {\gamma _a}} \right)}

p2

​−p1

​=−0,2⋅(γm

​−γa

​)

Como foram dados que p2 é 20 kPa, \mathrm{\gamma _a}

γa

​ é 10 kN/m³ e \mathrm{\gamma _m}

γm

​ é 70 kN/m³, temos:

\mathrm{{p_1} = 32 kPa}

p1

​=32kPa

Então, voltando para formulação encontrada no início da questão, temos:

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=3,60m

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{3,2 \cdot {{10}^4}}}{{10 \cdot {{10}^3}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+10⋅103


3,2⋅104

​=3,60m

\mathrm{v_1^2 = 0,4 \cdot 2 \cdot 10}

v1

2

​=0,4⋅2⋅10

\mathrm{{v_1} = 2,83m/s}

v1

​=2,83m/s

Logo, a vazão do escoamento será:

\mathrm{Q = {v_1} \cdot A}

Q=v1

​⋅A

\mathrm{Q = 2,83 \cdot 400 \cdot {10^{ - 4}}}

Q=2,83⋅400⋅10−4

\mathbf{Q = 0,1132{m^3}/s}

Q=0,1132m3

/s


Exercício 3

De acordo com a atual norma de instalações hidráulicas prediais, a carga de pressão mínima em um chuveiro deve ser de 1,0 mH2O. Para o seguinte esquema representativo das instalações de um banheiro, ilustrado na abaixo, determine a mínima altura de água no reservatório para que essa exigência seja cumprida. Dados:A figura abaixo apresenta um sifão. Sabendo que a pressão no ponto S do sifão deve ser maior que – 60 kPa em pressão relativa e desprezando as perdas de carga determine a velocidade do fluido no sifão e a máxima altura que o ponto S pode ter em relação ao ponto A.

ESQUEMA DO EXERCÍCIO 1

Resolução


Para a resolução da questão, vamos inicialmente determinar a velocidade de fluxo no sifão.

Sabendo que a velocidade de escoamento em todo o sifão é a mesma, podemos utilizar a equação de Bernoulli entre os pontos A e B para determinar tal velocidade. Temos então que:

\mathrm{{z_A} + \dfrac{{v_A^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_A}}}{\gamma } = {z_B} + \dfrac{{v_B^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_B}}}{\gamma }}


zA

​+2⋅g


vA

2

​+γ


pA

​=zB

​+2⋅g


vB

2

​+γ


pB

Como temos que a pressão em ambos os pontos é a própria pressão atmosférica e que a velocidade no ponto A é nula, temos:

\mathrm{{z_A} = \dfrac{{v_B^2}}{{2 \cdot g}}}


zA

​=2⋅g


vB

2

\mathbf{{v_B} = 5,66m/s}

vB

​=5,66m/s

Agora que já temos o valor da velocidade do fluxo no sifão, podemos aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos A e S.

Como temos que a pressão mínima no ponto S é -60 kPa e considerando agora o plano horizontal de referência passando pelo ponto A, temos:

\mathrm{0 = {z_S} + \dfrac{{5,{{66}^2}}}{{2 \cdot g}} - \dfrac{{60 \cdot {{10}^3}}}{{{{10}^4}}}}


0=zS

​+2⋅g


5,662

​−104


60⋅103

\mathbf{{z_S} = 4,4m}

zS

​=4,4m


Exercício 2

Calcule a vazão de escoamento no conduto apresentado na figura abaixo. Dados:

  • \mathrm{\gamma _a}
  • γa
  • ​: 10 kN/m³;
  • \mathrm{\gamma _m}
  • γm
  • ​ : 70 kN/m³;
  • A: 400 cm²;
  • p2: 20 kPa;
  • g: 10 m/s².

ESQUEMA DO EXERCÍCIO 2

Resolução

Inicialmente, iremos demarcar na figura os pontos notáveis que iremos utilizar durante a questão para mais fácil entendimento no decorrer da mesma.

Os pontos foram escolhidos por serem pontos de mudança de fluido (água e fluido manométrico) ou por serem pontos que se sabe características como velocidade e pressão.

Logo, temos o seguinte esquema:

ESQUEMA PARA RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2

A questão pede que se determine a vazão do escoamento, ou seja, precisamos determinar a velocidade de escoamento.

Então, vamos aplicar a equação de Bernoulli para os pontos 1 e 5 do escoamento. Temos:

\mathrm{{z_1} + \dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = {z_5} + \dfrac{{v_5^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_5}}}{{{\gamma _a}}}}


z1

​+2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=z5

​+2⋅g


v5

2

​+γa


p5

Como o ponto 5 possui velocidade nula, nele atua somente a pressão atmosférica e ele encontra-se numa cota 3,60 m acima do ponto 1, podemos desenvolver a equação para:

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=3,60m

Como não temos os valores de v1 e nem de p1, não conseguimos desenvolver, por ora, tal equacionamento.

Porém, temos um tubo U entre os pontos 1 e 2 e foi dada a pressão no ponto 2, então, podemos utilizar a lei de Stevin entre os pontos 1 e 2 para determinarmos a pressão no ponto1 e, finalmente, chegarmos a velocidade nesse ponto. Para isso, faremos uso dos pontos 3 e 4. Temos então:

\mathrm{{p_3} - {p_1} = {\gamma _a} \cdot h}

p3

​−p1

​=γa

​⋅h

\mathrm{{p_4} - {p_3} = - {\gamma _m} \cdot 0,2}

p4

​−p3

​=−γm

​⋅0,2

\mathrm{{p_2} - {p_4} = - {\gamma _a} \cdot \left( {h - 0,2} \right)}

p2

​−p4

​=−γa

​⋅(h−0,2)

Logo, temos que:

\mathrm{{p_2} - {p_1} = - 0,2 \cdot \left( {{\gamma _m} - {\gamma _a}} \right)}

p2

​−p1

​=−0,2⋅(γm

​−γa

​)

Como foram dados que p2 é 20 kPa, \mathrm{\gamma _a}

γa

​ é 10 kN/m³ e \mathrm{\gamma _m}

γm

​ é 70 kN/m³, temos:

\mathrm{{p_1} = 32 kPa}

p1

​=32kPa

Então, voltando para formulação encontrada no início da questão, temos:

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=3,60m

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{3,2 \cdot {{10}^4}}}{{10 \cdot {{10}^3}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+10⋅103


3,2⋅104

​=3,60m

\mathrm{v_1^2 = 0,4 \cdot 2 \cdot 10}

v1

2

​=0,4⋅2⋅10

\mathrm{{v_1} = 2,83m/s}

v1

​=2,83m/s

Logo, a vazão do escoamento será:

\mathrm{Q = {v_1} \cdot A}

Q=v1

​⋅A

\mathrm{Q = 2,83 \cdot 400 \cdot {10^{ - 4}}}

Q=2,83⋅400⋅10−4

\mathbf{Q = 0,1132{m^3}/s}

Q=0,1132m3

/s


Exercício 3

De acordo com a atual norma de instalações hidráulicas prediais, a carga de pressão mínima em um chuveiro deve ser de 1,0 mH2O. Para o seguinte esquema representativo das instalações de um banheiro, ilustrado na abaixo, determine a mínima altura de água no reservatório para que essa exigência seja cumprida. Dados:A figura abaixo apresenta um sifão. Sabendo que a pressão no ponto S do sifão deve ser maior que – 60 kPa em pressão relativa e desprezando as perdas de carga determine a velocidade do fluido no sifão e a máxima altura que o ponto S pode ter em relação ao ponto A.

ESQUEMA DO EXERCÍCIO 1

Resolução


Para a resolução da questão, vamos inicialmente determinar a velocidade de fluxo no sifão.

Sabendo que a velocidade de escoamento em todo o sifão é a mesma, podemos utilizar a equação de Bernoulli entre os pontos A e B para determinar tal velocidade. Temos então que:

\mathrm{{z_A} + \dfrac{{v_A^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_A}}}{\gamma } = {z_B} + \dfrac{{v_B^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_B}}}{\gamma }}


zA

​+2⋅g


vA

2

​+γ


pA

​=zB

​+2⋅g


vB

2

​+γ


pB

Como temos que a pressão em ambos os pontos é a própria pressão atmosférica e que a velocidade no ponto A é nula, temos:

\mathrm{{z_A} = \dfrac{{v_B^2}}{{2 \cdot g}}}


zA

​=2⋅g


vB

2

\mathbf{{v_B} = 5,66m/s}

vB

​=5,66m/s

Agora que já temos o valor da velocidade do fluxo no sifão, podemos aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos A e S.

Como temos que a pressão mínima no ponto S é -60 kPa e considerando agora o plano horizontal de referência passando pelo ponto A, temos:

\mathrm{0 = {z_S} + \dfrac{{5,{{66}^2}}}{{2 \cdot g}} - \dfrac{{60 \cdot {{10}^3}}}{{{{10}^4}}}}


0=zS

​+2⋅g


5,662

​−104


60⋅103

\mathbf{{z_S} = 4,4m}

zS

​=4,4m


Exercício 2

Calcule a vazão de escoamento no conduto apresentado na figura abaixo. Dados:

  • \mathrm{\gamma _a}
  • γa
  • ​: 10 kN/m³;
  • \mathrm{\gamma _m}
  • γm
  • ​ : 70 kN/m³;
  • A: 400 cm²;
  • p2: 20 kPa;
  • g: 10 m/s².

ESQUEMA DO EXERCÍCIO 2

Resolução

Inicialmente, iremos demarcar na figura os pontos notáveis que iremos utilizar durante a questão para mais fácil entendimento no decorrer da mesma.

Os pontos foram escolhidos por serem pontos de mudança de fluido (água e fluido manométrico) ou por serem pontos que se sabe características como velocidade e pressão.

Logo, temos o seguinte esquema:

ESQUEMA PARA RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2

A questão pede que se determine a vazão do escoamento, ou seja, precisamos determinar a velocidade de escoamento.

Então, vamos aplicar a equação de Bernoulli para os pontos 1 e 5 do escoamento. Temos:

\mathrm{{z_1} + \dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = {z_5} + \dfrac{{v_5^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_5}}}{{{\gamma _a}}}}


z1

​+2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=z5

​+2⋅g


v5

2

​+γa


p5

Como o ponto 5 possui velocidade nula, nele atua somente a pressão atmosférica e ele encontra-se numa cota 3,60 m acima do ponto 1, podemos desenvolver a equação para:

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=3,60m

Como não temos os valores de v1 e nem de p1, não conseguimos desenvolver, por ora, tal equacionamento.

Porém, temos um tubo U entre os pontos 1 e 2 e foi dada a pressão no ponto 2, então, podemos utilizar a lei de Stevin entre os pontos 1 e 2 para determinarmos a pressão no ponto1 e, finalmente, chegarmos a velocidade nesse ponto. Para isso, faremos uso dos pontos 3 e 4. Temos então:

\mathrm{{p_3} - {p_1} = {\gamma _a} \cdot h}

p3

​−p1

​=γa

​⋅h

\mathrm{{p_4} - {p_3} = - {\gamma _m} \cdot 0,2}

p4

​−p3

​=−γm

​⋅0,2

\mathrm{{p_2} - {p_4} = - {\gamma _a} \cdot \left( {h - 0,2} \right)}

p2

​−p4

​=−γa

​⋅(h−0,2)

Logo, temos que:

\mathrm{{p_2} - {p_1} = - 0,2 \cdot \left( {{\gamma _m} - {\gamma _a}} \right)}

p2

​−p1

​=−0,2⋅(γm

​−γa

​)

Como foram dados que p2 é 20 kPa, \mathrm{\gamma _a}

γa

​ é 10 kN/m³ e \mathrm{\gamma _m}

γm

​ é 70 kN/m³, temos:

\mathrm{{p_1} = 32 kPa}

p1

​=32kPa

Então, voltando para formulação encontrada no início da questão, temos:

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=3,60m

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{3,2 \cdot {{10}^4}}}{{10 \cdot {{10}^3}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+10⋅103


3,2⋅104

​=3,60m

\mathrm{v_1^2 = 0,4 \cdot 2 \cdot 10}

v1

2

​=0,4⋅2⋅10

\mathrm{{v_1} = 2,83m/s}

v1

​=2,83m/s

Logo, a vazão do escoamento será:

\mathrm{Q = {v_1} \cdot A}

Q=v1

​⋅A

\mathrm{Q = 2,83 \cdot 400 \cdot {10^{ - 4}}}

Q=2,83⋅400⋅10−4

\mathbf{Q = 0,1132{m^3}/s}

Q=0,1132m3

/s


Exercício 3

De acordo com a atual norma de instalações hidráulicas prediais, a carga de pressão mínima em um chuveiro deve ser de 1,0 mH2O. Para o seguinte esquema representativo das instalações de um banheiro, ilustrado na abaixo, determine a mínima altura de água no reservatório para que essa exigência seja cumprida. Dados:A figura abaixo apresenta um sifão. Sabendo que a pressão no ponto S do sifão deve ser maior que – 60 kPa em pressão relativa e desprezando as perdas de carga determine a velocidade do fluido no sifão e a máxima altura que o ponto S pode ter em relação ao ponto A.

ESQUEMA DO EXERCÍCIO 1

Resolução


Para a resolução da questão, vamos inicialmente determinar a velocidade de fluxo no sifão.

Sabendo que a velocidade de escoamento em todo o sifão é a mesma, podemos utilizar a equação de Bernoulli entre os pontos A e B para determinar tal velocidade. Temos então que:

\mathrm{{z_A} + \dfrac{{v_A^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_A}}}{\gamma } = {z_B} + \dfrac{{v_B^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_B}}}{\gamma }}


zA

​+2⋅g


vA

2

​+γ


pA

​=zB

​+2⋅g


vB

2

​+γ


pB

Como temos que a pressão em ambos os pontos é a própria pressão atmosférica e que a velocidade no ponto A é nula, temos:

\mathrm{{z_A} = \dfrac{{v_B^2}}{{2 \cdot g}}}


zA

​=2⋅g


vB

2

\mathbf{{v_B} = 5,66m/s}

vB

​=5,66m/s

Agora que já temos o valor da velocidade do fluxo no sifão, podemos aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos A e S.

Como temos que a pressão mínima no ponto S é -60 kPa e considerando agora o plano horizontal de referência passando pelo ponto A, temos:

\mathrm{0 = {z_S} + \dfrac{{5,{{66}^2}}}{{2 \cdot g}} - \dfrac{{60 \cdot {{10}^3}}}{{{{10}^4}}}}


0=zS

​+2⋅g


5,662

​−104


60⋅103

\mathbf{{z_S} = 4,4m}

zS

​=4,4m


Exercício 2

Calcule a vazão de escoamento no conduto apresentado na figura abaixo. Dados:

  • \mathrm{\gamma _a}
  • γa
  • ​: 10 kN/m³;
  • \mathrm{\gamma _m}
  • γm
  • ​ : 70 kN/m³;
  • A: 400 cm²;
  • p2: 20 kPa;
  • g: 10 m/s².

ESQUEMA DO EXERCÍCIO 2

Resolução

Inicialmente, iremos demarcar na figura os pontos notáveis que iremos utilizar durante a questão para mais fácil entendimento no decorrer da mesma.

Os pontos foram escolhidos por serem pontos de mudança de fluido (água e fluido manométrico) ou por serem pontos que se sabe características como velocidade e pressão.

Logo, temos o seguinte esquema:

ESQUEMA PARA RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2

A questão pede que se determine a vazão do escoamento, ou seja, precisamos determinar a velocidade de escoamento.

Então, vamos aplicar a equação de Bernoulli para os pontos 1 e 5 do escoamento. Temos:

\mathrm{{z_1} + \dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = {z_5} + \dfrac{{v_5^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_5}}}{{{\gamma _a}}}}


z1

​+2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=z5

​+2⋅g


v5

2

​+γa


p5

Como o ponto 5 possui velocidade nula, nele atua somente a pressão atmosférica e ele encontra-se numa cota 3,60 m acima do ponto 1, podemos desenvolver a equação para:

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=3,60m

Como não temos os valores de v1 e nem de p1, não conseguimos desenvolver, por ora, tal equacionamento.

Porém, temos um tubo U entre os pontos 1 e 2 e foi dada a pressão no ponto 2, então, podemos utilizar a lei de Stevin entre os pontos 1 e 2 para determinarmos a pressão no ponto1 e, finalmente, chegarmos a velocidade nesse ponto. Para isso, faremos uso dos pontos 3 e 4. Temos então:

\mathrm{{p_3} - {p_1} = {\gamma _a} \cdot h}

p3

​−p1

​=γa

​⋅h

\mathrm{{p_4} - {p_3} = - {\gamma _m} \cdot 0,2}

p4

​−p3

​=−γm

​⋅0,2

\mathrm{{p_2} - {p_4} = - {\gamma _a} \cdot \left( {h - 0,2} \right)}

p2

​−p4

​=−γa

​⋅(h−0,2)

Logo, temos que:

\mathrm{{p_2} - {p_1} = - 0,2 \cdot \left( {{\gamma _m} - {\gamma _a}} \right)}

p2

​−p1

​=−0,2⋅(γm

​−γa

​)

Como foram dados que p2 é 20 kPa, \mathrm{\gamma _a}

γa

​ é 10 kN/m³ e \mathrm{\gamma _m}

γm

​ é 70 kN/m³, temos:

\mathrm{{p_1} = 32 kPa}

p1

​=32kPa

Então, voltando para formulação encontrada no início da questão, temos:

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=3,60m

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{3,2 \cdot {{10}^4}}}{{10 \cdot {{10}^3}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+10⋅103


3,2⋅104

​=3,60m

\mathrm{v_1^2 = 0,4 \cdot 2 \cdot 10}

v1

2

​=0,4⋅2⋅10

\mathrm{{v_1} = 2,83m/s}

v1

​=2,83m/s

Logo, a vazão do escoamento será:

\mathrm{Q = {v_1} \cdot A}

Q=v1

​⋅A

\mathrm{Q = 2,83 \cdot 400 \cdot {10^{ - 4}}}

Q=2,83⋅400⋅10−4

\mathbf{Q = 0,1132{m^3}/s}

Q=0,1132m3

/s


Exercício 3

De acordo com a atual norma de instalações hidráulicas prediais, a carga de pressão mínima em um chuveiro deve ser de 1,0 mH2O. Para o seguinte esquema representativo das instalações de um banheiro, ilustrado na abaixo, determine a mínima altura de água no reservatório para que essa exigência seja cumprida. Dados:A figura abaixo apresenta um sifão. Sabendo que a pressão no ponto S do sifão deve ser maior que – 60 kPa em pressão relativa e desprezando as perdas de carga determine a velocidade do fluido no sifão e a máxima altura que o ponto S pode ter em relação ao ponto A.

ESQUEMA DO EXERCÍCIO 1

Resolução


Para a resolução da questão, vamos inicialmente determinar a velocidade de fluxo no sifão.

Sabendo que a velocidade de escoamento em todo o sifão é a mesma, podemos utilizar a equação de Bernoulli entre os pontos A e B para determinar tal velocidade. Temos então que:

\mathrm{{z_A} + \dfrac{{v_A^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_A}}}{\gamma } = {z_B} + \dfrac{{v_B^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_B}}}{\gamma }}


zA

​+2⋅g


vA

2

​+γ


pA

​=zB

​+2⋅g


vB

2

​+γ


pB

Como temos que a pressão em ambos os pontos é a própria pressão atmosférica e que a velocidade no ponto A é nula, temos:

\mathrm{{z_A} = \dfrac{{v_B^2}}{{2 \cdot g}}}


zA

​=2⋅g


vB

2

\mathbf{{v_B} = 5,66m/s}

vB

​=5,66m/s

Agora que já temos o valor da velocidade do fluxo no sifão, podemos aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos A e S.

Como temos que a pressão mínima no ponto S é -60 kPa e considerando agora o plano horizontal de referência passando pelo ponto A, temos:

\mathrm{0 = {z_S} + \dfrac{{5,{{66}^2}}}{{2 \cdot g}} - \dfrac{{60 \cdot {{10}^3}}}{{{{10}^4}}}}


0=zS

​+2⋅g


5,662

​−104


60⋅103

\mathbf{{z_S} = 4,4m}

zS

​=4,4m


Exercício 2

Calcule a vazão de escoamento no conduto apresentado na figura abaixo. Dados:

  • \mathrm{\gamma _a}
  • γa
  • ​: 10 kN/m³;
  • \mathrm{\gamma _m}
  • γm
  • ​ : 70 kN/m³;
  • A: 400 cm²;
  • p2: 20 kPa;
  • g: 10 m/s².

ESQUEMA DO EXERCÍCIO 2

Resolução

Inicialmente, iremos demarcar na figura os pontos notáveis que iremos utilizar durante a questão para mais fácil entendimento no decorrer da mesma.

Os pontos foram escolhidos por serem pontos de mudança de fluido (água e fluido manométrico) ou por serem pontos que se sabe características como velocidade e pressão.

Logo, temos o seguinte esquema:

ESQUEMA PARA RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2

A questão pede que se determine a vazão do escoamento, ou seja, precisamos determinar a velocidade de escoamento.

Então, vamos aplicar a equação de Bernoulli para os pontos 1 e 5 do escoamento. Temos:

\mathrm{{z_1} + \dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = {z_5} + \dfrac{{v_5^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_5}}}{{{\gamma _a}}}}


z1

​+2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=z5

​+2⋅g


v5

2

​+γa


p5

Como o ponto 5 possui velocidade nula, nele atua somente a pressão atmosférica e ele encontra-se numa cota 3,60 m acima do ponto 1, podemos desenvolver a equação para:

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=3,60m

Como não temos os valores de v1 e nem de p1, não conseguimos desenvolver, por ora, tal equacionamento.

Porém, temos um tubo U entre os pontos 1 e 2 e foi dada a pressão no ponto 2, então, podemos utilizar a lei de Stevin entre os pontos 1 e 2 para determinarmos a pressão no ponto1 e, finalmente, chegarmos a velocidade nesse ponto. Para isso, faremos uso dos pontos 3 e 4. Temos então:

\mathrm{{p_3} - {p_1} = {\gamma _a} \cdot h}

p3

​−p1

​=γa

​⋅h

\mathrm{{p_4} - {p_3} = - {\gamma _m} \cdot 0,2}

p4

​−p3

​=−γm

​⋅0,2

\mathrm{{p_2} - {p_4} = - {\gamma _a} \cdot \left( {h - 0,2} \right)}

p2

​−p4

​=−γa

​⋅(h−0,2)

Logo, temos que:

\mathrm{{p_2} - {p_1} = - 0,2 \cdot \left( {{\gamma _m} - {\gamma _a}} \right)}

p2

​−p1

​=−0,2⋅(γm

​−γa

​)

Como foram dados que p2 é 20 kPa, \mathrm{\gamma _a}

γa

​ é 10 kN/m³ e \mathrm{\gamma _m}

γm

​ é 70 kN/m³, temos:

\mathrm{{p_1} = 32 kPa}

p1

​=32kPa

Então, voltando para formulação encontrada no início da questão, temos:

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=3,60m

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{3,2 \cdot {{10}^4}}}{{10 \cdot {{10}^3}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+10⋅103


3,2⋅104

​=3,60m

\mathrm{v_1^2 = 0,4 \cdot 2 \cdot 10}

v1

2

​=0,4⋅2⋅10

\mathrm{{v_1} = 2,83m/s}

v1

​=2,83m/s

Logo, a vazão do escoamento será:

\mathrm{Q = {v_1} \cdot A}

Q=v1

​⋅A

\mathrm{Q = 2,83 \cdot 400 \cdot {10^{ - 4}}}

Q=2,83⋅400⋅10−4

\mathbf{Q = 0,1132{m^3}/s}

Q=0,1132m3

/s


Exercício 3

De acordo com a atual norma de instalações hidráulicas prediais, a carga de pressão mínima em um chuveiro deve ser de 1,0 mH2O. Para o seguinte esquema representativo das instalações de um banheiro, ilustrado na abaixo, determine a mínima altura de água no reservatório para que essa exigência seja cumprida. Dados:A figura abaixo apresenta um sifão. Sabendo que a pressão no ponto S do sifão deve ser maior que – 60 kPa em pressão relativa e desprezando as perdas de carga determine a velocidade do fluido no sifão e a máxima altura que o ponto S pode ter em relação ao ponto A.

ESQUEMA DO EXERCÍCIO 1

Resolução


Para a resolução da questão, vamos inicialmente determinar a velocidade de fluxo no sifão.

Sabendo que a velocidade de escoamento em todo o sifão é a mesma, podemos utilizar a equação de Bernoulli entre os pontos A e B para determinar tal velocidade. Temos então que:

\mathrm{{z_A} + \dfrac{{v_A^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_A}}}{\gamma } = {z_B} + \dfrac{{v_B^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_B}}}{\gamma }}


zA

​+2⋅g


vA

2

​+γ


pA

​=zB

​+2⋅g


vB

2

​+γ


pB

Como temos que a pressão em ambos os pontos é a própria pressão atmosférica e que a velocidade no ponto A é nula, temos:

\mathrm{{z_A} = \dfrac{{v_B^2}}{{2 \cdot g}}}


zA

​=2⋅g


vB

2

\mathbf{{v_B} = 5,66m/s}

vB

​=5,66m/s

Agora que já temos o valor da velocidade do fluxo no sifão, podemos aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos A e S.

Como temos que a pressão mínima no ponto S é -60 kPa e considerando agora o plano horizontal de referência passando pelo ponto A, temos:

\mathrm{0 = {z_S} + \dfrac{{5,{{66}^2}}}{{2 \cdot g}} - \dfrac{{60 \cdot {{10}^3}}}{{{{10}^4}}}}


0=zS

​+2⋅g


5,662

​−104


60⋅103

\mathbf{{z_S} = 4,4m}

zS

​=4,4m


Exercício 2

Calcule a vazão de escoamento no conduto apresentado na figura abaixo. Dados:

  • \mathrm{\gamma _a}
  • γa
  • ​: 10 kN/m³;
  • \mathrm{\gamma _m}
  • γm
  • ​ : 70 kN/m³;
  • A: 400 cm²;
  • p2: 20 kPa;
  • g: 10 m/s².

ESQUEMA DO EXERCÍCIO 2

Resolução

Inicialmente, iremos demarcar na figura os pontos notáveis que iremos utilizar durante a questão para mais fácil entendimento no decorrer da mesma.

Os pontos foram escolhidos por serem pontos de mudança de fluido (água e fluido manométrico) ou por serem pontos que se sabe características como velocidade e pressão.

Logo, temos o seguinte esquema:

ESQUEMA PARA RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2

A questão pede que se determine a vazão do escoamento, ou seja, precisamos determinar a velocidade de escoamento.

Então, vamos aplicar a equação de Bernoulli para os pontos 1 e 5 do escoamento. Temos:

\mathrm{{z_1} + \dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = {z_5} + \dfrac{{v_5^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_5}}}{{{\gamma _a}}}}


z1

​+2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=z5

​+2⋅g


v5

2

​+γa


p5

Como o ponto 5 possui velocidade nula, nele atua somente a pressão atmosférica e ele encontra-se numa cota 3,60 m acima do ponto 1, podemos desenvolver a equação para:

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=3,60m

Como não temos os valores de v1 e nem de p1, não conseguimos desenvolver, por ora, tal equacionamento.

Porém, temos um tubo U entre os pontos 1 e 2 e foi dada a pressão no ponto 2, então, podemos utilizar a lei de Stevin entre os pontos 1 e 2 para determinarmos a pressão no ponto1 e, finalmente, chegarmos a velocidade nesse ponto. Para isso, faremos uso dos pontos 3 e 4. Temos então:

\mathrm{{p_3} - {p_1} = {\gamma _a} \cdot h}

p3

​−p1

​=γa

​⋅h

\mathrm{{p_4} - {p_3} = - {\gamma _m} \cdot 0,2}

p4

​−p3

​=−γm

​⋅0,2

\mathrm{{p_2} - {p_4} = - {\gamma _a} \cdot \left( {h - 0,2} \right)}

p2

​−p4

​=−γa

​⋅(h−0,2)

Logo, temos que:

\mathrm{{p_2} - {p_1} = - 0,2 \cdot \left( {{\gamma _m} - {\gamma _a}} \right)}

p2

​−p1

​=−0,2⋅(γm

​−γa

​)

Como foram dados que p2 é 20 kPa, \mathrm{\gamma _a}

γa

​ é 10 kN/m³ e \mathrm{\gamma _m}

γm

​ é 70 kN/m³, temos:

\mathrm{{p_1} = 32 kPa}

p1

​=32kPa

Então, voltando para formulação encontrada no início da questão, temos:

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=3,60m

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{3,2 \cdot {{10}^4}}}{{10 \cdot {{10}^3}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+10⋅103


3,2⋅104

​=3,60m

\mathrm{v_1^2 = 0,4 \cdot 2 \cdot 10}

v1

2

​=0,4⋅2⋅10

\mathrm{{v_1} = 2,83m/s}

v1

​=2,83m/s

Logo, a vazão do escoamento será:

\mathrm{Q = {v_1} \cdot A}

Q=v1

​⋅A

\mathrm{Q = 2,83 \cdot 400 \cdot {10^{ - 4}}}

Q=2,83⋅400⋅10−4

\mathbf{Q = 0,1132{m^3}/s}

Q=0,1132m3

/s


Exercício 3

De acordo com a atual norma de instalações hidráulicas prediais, a carga de pressão mínima em um chuveiro deve ser de 1,0 mH2O. Para o seguinte esquema representativo das instalações de um banheiro, ilustrado na abaixo, determine a mínima altura de água no reservatório para que essa exigência seja cumprida. Dados:A figura abaixo apresenta um sifão. Sabendo que a pressão no ponto S do sifão deve ser maior que – 60 kPa em pressão relativa e desprezando as perdas de carga determine a velocidade do fluido no sifão e a máxima altura que o ponto S pode ter em relação ao ponto A.

ESQUEMA DO EXERCÍCIO 1

Resolução


Para a resolução da questão, vamos inicialmente determinar a velocidade de fluxo no sifão.

Sabendo que a velocidade de escoamento em todo o sifão é a mesma, podemos utilizar a equação de Bernoulli entre os pontos A e B para determinar tal velocidade. Temos então que:

\mathrm{{z_A} + \dfrac{{v_A^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_A}}}{\gamma } = {z_B} + \dfrac{{v_B^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_B}}}{\gamma }}


zA

​+2⋅g


vA

2

​+γ


pA

​=zB

​+2⋅g


vB

2

​+γ


pB

Como temos que a pressão em ambos os pontos é a própria pressão atmosférica e que a velocidade no ponto A é nula, temos:

\mathrm{{z_A} = \dfrac{{v_B^2}}{{2 \cdot g}}}


zA

​=2⋅g


vB

2

\mathbf{{v_B} = 5,66m/s}

vB

​=5,66m/s

Agora que já temos o valor da velocidade do fluxo no sifão, podemos aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos A e S.

Como temos que a pressão mínima no ponto S é -60 kPa e considerando agora o plano horizontal de referência passando pelo ponto A, temos:

\mathrm{0 = {z_S} + \dfrac{{5,{{66}^2}}}{{2 \cdot g}} - \dfrac{{60 \cdot {{10}^3}}}{{{{10}^4}}}}


0=zS

​+2⋅g


5,662

​−104


60⋅103

\mathbf{{z_S} = 4,4m}

zS

​=4,4m


Exercício 2

Calcule a vazão de escoamento no conduto apresentado na figura abaixo. Dados:

  • \mathrm{\gamma _a}
  • γa
  • ​: 10 kN/m³;
  • \mathrm{\gamma _m}
  • γm
  • ​ : 70 kN/m³;
  • A: 400 cm²;
  • p2: 20 kPa;
  • g: 10 m/s².

ESQUEMA DO EXERCÍCIO 2

Resolução

Inicialmente, iremos demarcar na figura os pontos notáveis que iremos utilizar durante a questão para mais fácil entendimento no decorrer da mesma.

Os pontos foram escolhidos por serem pontos de mudança de fluido (água e fluido manométrico) ou por serem pontos que se sabe características como velocidade e pressão.

Logo, temos o seguinte esquema:

ESQUEMA PARA RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2

A questão pede que se determine a vazão do escoamento, ou seja, precisamos determinar a velocidade de escoamento.

Então, vamos aplicar a equação de Bernoulli para os pontos 1 e 5 do escoamento. Temos:

\mathrm{{z_1} + \dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = {z_5} + \dfrac{{v_5^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_5}}}{{{\gamma _a}}}}


z1

​+2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=z5

​+2⋅g


v5

2

​+γa


p5

Como o ponto 5 possui velocidade nula, nele atua somente a pressão atmosférica e ele encontra-se numa cota 3,60 m acima do ponto 1, podemos desenvolver a equação para:

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=3,60m

Como não temos os valores de v1 e nem de p1, não conseguimos desenvolver, por ora, tal equacionamento.

Porém, temos um tubo U entre os pontos 1 e 2 e foi dada a pressão no ponto 2, então, podemos utilizar a lei de Stevin entre os pontos 1 e 2 para determinarmos a pressão no ponto1 e, finalmente, chegarmos a velocidade nesse ponto. Para isso, faremos uso dos pontos 3 e 4. Temos então:

\mathrm{{p_3} - {p_1} = {\gamma _a} \cdot h}

p3

​−p1

​=γa

​⋅h

\mathrm{{p_4} - {p_3} = - {\gamma _m} \cdot 0,2}

p4

​−p3

​=−γm

​⋅0,2

\mathrm{{p_2} - {p_4} = - {\gamma _a} \cdot \left( {h - 0,2} \right)}

p2

​−p4

​=−γa

​⋅(h−0,2)

Logo, temos que:

\mathrm{{p_2} - {p_1} = - 0,2 \cdot \left( {{\gamma _m} - {\gamma _a}} \right)}

p2

​−p1

​=−0,2⋅(γm

​−γa

​)

Como foram dados que p2 é 20 kPa, \mathrm{\gamma _a}

γa

​ é 10 kN/m³ e \mathrm{\gamma _m}

γm

​ é 70 kN/m³, temos:

\mathrm{{p_1} = 32 kPa}

p1

​=32kPa

Então, voltando para formulação encontrada no início da questão, temos:

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=3,60m

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{3,2 \cdot {{10}^4}}}{{10 \cdot {{10}^3}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+10⋅103


3,2⋅104

​=3,60m

\mathrm{v_1^2 = 0,4 \cdot 2 \cdot 10}

v1

2

​=0,4⋅2⋅10

\mathrm{{v_1} = 2,83m/s}

v1

​=2,83m/s

Logo, a vazão do escoamento será:

\mathrm{Q = {v_1} \cdot A}

Q=v1

​⋅A

\mathrm{Q = 2,83 \cdot 400 \cdot {10^{ - 4}}}

Q=2,83⋅400⋅10−4

\mathbf{Q = 0,1132{m^3}/s}

Q=0,1132m3

/s


Exercício 3

De acordo com a atual norma de instalações hidráulicas prediais, a carga de pressão mínima em um chuveiro deve ser de 1,0 mH2O. Para o seguinte esquema representativo das instalações de um banheiro, ilustrado na abaixo, determine a mínima altura de água no reservatório para que essa exigência seja cumprida. Dados:A figura abaixo apresenta um sifão. Sabendo que a pressão no ponto S do sifão deve ser maior que – 60 kPa em pressão relativa e desprezando as perdas de carga determine a velocidade do fluido no sifão e a máxima altura que o ponto S pode ter em relação ao ponto A.

ESQUEMA DO EXERCÍCIO 1

Resolução


Para a resolução da questão, vamos inicialmente determinar a velocidade de fluxo no sifão.

Sabendo que a velocidade de escoamento em todo o sifão é a mesma, podemos utilizar a equação de Bernoulli entre os pontos A e B para determinar tal velocidade. Temos então que:

\mathrm{{z_A} + \dfrac{{v_A^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_A}}}{\gamma } = {z_B} + \dfrac{{v_B^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_B}}}{\gamma }}


zA

​+2⋅g


vA

2

​+γ


pA

​=zB

​+2⋅g


vB

2

​+γ


pB

Como temos que a pressão em ambos os pontos é a própria pressão atmosférica e que a velocidade no ponto A é nula, temos:

\mathrm{{z_A} = \dfrac{{v_B^2}}{{2 \cdot g}}}


zA

​=2⋅g


vB

2

\mathbf{{v_B} = 5,66m/s}

vB

​=5,66m/s

Agora que já temos o valor da velocidade do fluxo no sifão, podemos aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos A e S.

Como temos que a pressão mínima no ponto S é -60 kPa e considerando agora o plano horizontal de referência passando pelo ponto A, temos:

\mathrm{0 = {z_S} + \dfrac{{5,{{66}^2}}}{{2 \cdot g}} - \dfrac{{60 \cdot {{10}^3}}}{{{{10}^4}}}}


0=zS

​+2⋅g


5,662

​−104


60⋅103

\mathbf{{z_S} = 4,4m}

zS

​=4,4m


Exercício 2

Calcule a vazão de escoamento no conduto apresentado na figura abaixo. Dados:

  • \mathrm{\gamma _a}
  • γa
  • ​: 10 kN/m³;
  • \mathrm{\gamma _m}
  • γm
  • ​ : 70 kN/m³;
  • A: 400 cm²;
  • p2: 20 kPa;
  • g: 10 m/s².

ESQUEMA DO EXERCÍCIO 2

Resolução

Inicialmente, iremos demarcar na figura os pontos notáveis que iremos utilizar durante a questão para mais fácil entendimento no decorrer da mesma.

Os pontos foram escolhidos por serem pontos de mudança de fluido (água e fluido manométrico) ou por serem pontos que se sabe características como velocidade e pressão.

Logo, temos o seguinte esquema:

ESQUEMA PARA RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2

A questão pede que se determine a vazão do escoamento, ou seja, precisamos determinar a velocidade de escoamento.

Então, vamos aplicar a equação de Bernoulli para os pontos 1 e 5 do escoamento. Temos:

\mathrm{{z_1} + \dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = {z_5} + \dfrac{{v_5^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_5}}}{{{\gamma _a}}}}


z1

​+2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=z5

​+2⋅g


v5

2

​+γa


p5

Como o ponto 5 possui velocidade nula, nele atua somente a pressão atmosférica e ele encontra-se numa cota 3,60 m acima do ponto 1, podemos desenvolver a equação para:

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=3,60m

Como não temos os valores de v1 e nem de p1, não conseguimos desenvolver, por ora, tal equacionamento.

Porém, temos um tubo U entre os pontos 1 e 2 e foi dada a pressão no ponto 2, então, podemos utilizar a lei de Stevin entre os pontos 1 e 2 para determinarmos a pressão no ponto1 e, finalmente, chegarmos a velocidade nesse ponto. Para isso, faremos uso dos pontos 3 e 4. Temos então:

\mathrm{{p_3} - {p_1} = {\gamma _a} \cdot h}

p3

​−p1

​=γa

​⋅h

\mathrm{{p_4} - {p_3} = - {\gamma _m} \cdot 0,2}

p4

​−p3

​=−γm

​⋅0,2

\mathrm{{p_2} - {p_4} = - {\gamma _a} \cdot \left( {h - 0,2} \right)}

p2

​−p4

​=−γa

​⋅(h−0,2)

Logo, temos que:

\mathrm{{p_2} - {p_1} = - 0,2 \cdot \left( {{\gamma _m} - {\gamma _a}} \right)}

p2

​−p1

​=−0,2⋅(γm

​−γa

​)

Como foram dados que p2 é 20 kPa, \mathrm{\gamma _a}

γa

​ é 10 kN/m³ e \mathrm{\gamma _m}

γm

​ é 70 kN/m³, temos:

\mathrm{{p_1} = 32 kPa}

p1

​=32kPa

Então, voltando para formulação encontrada no início da questão, temos:

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=3,60m

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{3,2 \cdot {{10}^4}}}{{10 \cdot {{10}^3}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+10⋅103


3,2⋅104

​=3,60m

\mathrm{v_1^2 = 0,4 \cdot 2 \cdot 10}

v1

2

​=0,4⋅2⋅10

\mathrm{{v_1} = 2,83m/s}

v1

​=2,83m/s

Logo, a vazão do escoamento será:

\mathrm{Q = {v_1} \cdot A}

Q=v1

​⋅A

\mathrm{Q = 2,83 \cdot 400 \cdot {10^{ - 4}}}

Q=2,83⋅400⋅10−4

\mathbf{Q = 0,1132{m^3}/s}

Q=0,1132m3

/s


Exercício 3

De acordo com a atual norma de instalações hidráulicas prediais, a carga de pressão mínima em um chuveiro deve ser de 1,0 mH2O. Para o seguinte esquema representativo das instalações de um banheiro, ilustrado na abaixo, determine a mínima altura de água no reservatório para que essa exigência seja cumprida. Dados:A figura abaixo apresenta um sifão. Sabendo que a pressão no ponto S do sifão deve ser maior que – 60 kPa em pressão relativa e desprezando as perdas de carga determine a velocidade do fluido no sifão e a máxima altura que o ponto S pode ter em relação ao ponto A.

ESQUEMA DO EXERCÍCIO 1

Resolução


Para a resolução da questão, vamos inicialmente determinar a velocidade de fluxo no sifão.

Sabendo que a velocidade de escoamento em todo o sifão é a mesma, podemos utilizar a equação de Bernoulli entre os pontos A e B para determinar tal velocidade. Temos então que:

\mathrm{{z_A} + \dfrac{{v_A^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_A}}}{\gamma } = {z_B} + \dfrac{{v_B^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_B}}}{\gamma }}


zA

​+2⋅g


vA

2

​+γ


pA

​=zB

​+2⋅g


vB

2

​+γ


pB

Como temos que a pressão em ambos os pontos é a própria pressão atmosférica e que a velocidade no ponto A é nula, temos:

\mathrm{{z_A} = \dfrac{{v_B^2}}{{2 \cdot g}}}


zA

​=2⋅g


vB

2

\mathbf{{v_B} = 5,66m/s}

vB

​=5,66m/s

Agora que já temos o valor da velocidade do fluxo no sifão, podemos aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos A e S.

Como temos que a pressão mínima no ponto S é -60 kPa e considerando agora o plano horizontal de referência passando pelo ponto A, temos:

\mathrm{0 = {z_S} + \dfrac{{5,{{66}^2}}}{{2 \cdot g}} - \dfrac{{60 \cdot {{10}^3}}}{{{{10}^4}}}}


0=zS

​+2⋅g


5,662

​−104


60⋅103

\mathbf{{z_S} = 4,4m}

zS

​=4,4m


Exercício 2

Calcule a vazão de escoamento no conduto apresentado na figura abaixo. Dados:

  • \mathrm{\gamma _a}
  • γa
  • ​: 10 kN/m³;
  • \mathrm{\gamma _m}
  • γm
  • ​ : 70 kN/m³;
  • A: 400 cm²;
  • p2: 20 kPa;
  • g: 10 m/s².

ESQUEMA DO EXERCÍCIO 2

Resolução

Inicialmente, iremos demarcar na figura os pontos notáveis que iremos utilizar durante a questão para mais fácil entendimento no decorrer da mesma.

Os pontos foram escolhidos por serem pontos de mudança de fluido (água e fluido manométrico) ou por serem pontos que se sabe características como velocidade e pressão.

Logo, temos o seguinte esquema:

ESQUEMA PARA RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2

A questão pede que se determine a vazão do escoamento, ou seja, precisamos determinar a velocidade de escoamento.

Então, vamos aplicar a equação de Bernoulli para os pontos 1 e 5 do escoamento. Temos:

\mathrm{{z_1} + \dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = {z_5} + \dfrac{{v_5^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_5}}}{{{\gamma _a}}}}


z1

​+2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=z5

​+2⋅g


v5

2

​+γa


p5

Como o ponto 5 possui velocidade nula, nele atua somente a pressão atmosférica e ele encontra-se numa cota 3,60 m acima do ponto 1, podemos desenvolver a equação para:

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=3,60m

Como não temos os valores de v1 e nem de p1, não conseguimos desenvolver, por ora, tal equacionamento.

Porém, temos um tubo U entre os pontos 1 e 2 e foi dada a pressão no ponto 2, então, podemos utilizar a lei de Stevin entre os pontos 1 e 2 para determinarmos a pressão no ponto1 e, finalmente, chegarmos a velocidade nesse ponto. Para isso, faremos uso dos pontos 3 e 4. Temos então:

\mathrm{{p_3} - {p_1} = {\gamma _a} \cdot h}

p3

​−p1

​=γa

​⋅h

\mathrm{{p_4} - {p_3} = - {\gamma _m} \cdot 0,2}

p4

​−p3

​=−γm

​⋅0,2

\mathrm{{p_2} - {p_4} = - {\gamma _a} \cdot \left( {h - 0,2} \right)}

p2

​−p4

​=−γa

​⋅(h−0,2)

Logo, temos que:

\mathrm{{p_2} - {p_1} = - 0,2 \cdot \left( {{\gamma _m} - {\gamma _a}} \right)}

p2

​−p1

​=−0,2⋅(γm

​−γa

​)

Como foram dados que p2 é 20 kPa, \mathrm{\gamma _a}

γa

​ é 10 kN/m³ e \mathrm{\gamma _m}

γm

​ é 70 kN/m³, temos:

\mathrm{{p_1} = 32 kPa}

p1

​=32kPa

Então, voltando para formulação encontrada no início da questão, temos:

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=3,60m

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{3,2 \cdot {{10}^4}}}{{10 \cdot {{10}^3}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+10⋅103


3,2⋅104

​=3,60m

\mathrm{v_1^2 = 0,4 \cdot 2 \cdot 10}

v1

2

​=0,4⋅2⋅10

\mathrm{{v_1} = 2,83m/s}

v1

​=2,83m/s

Logo, a vazão do escoamento será:

\mathrm{Q = {v_1} \cdot A}

Q=v1

​⋅A

\mathrm{Q = 2,83 \cdot 400 \cdot {10^{ - 4}}}

Q=2,83⋅400⋅10−4

\mathbf{Q = 0,1132{m^3}/s}

Q=0,1132m3

/s


Exercício 3

De acordo com a atual norma de instalações hidráulicas prediais, a carga de pressão mínima em um chuveiro deve ser de 1,0 mH2O. Para o seguinte esquema representativo das instalações de um banheiro, ilustrado na abaixo, determine a mínima altura de água no reservatório para que essa exigência seja cumprida. Dados:A figura abaixo apresenta um sifão. Sabendo que a pressão no ponto S do sifão deve ser maior que – 60 kPa em pressão relativa e desprezando as perdas de carga determine a velocidade do fluido no sifão e a máxima altura que o ponto S pode ter em relação ao ponto A.

ESQUEMA DO EXERCÍCIO 1

Resolução


Para a resolução da questão, vamos inicialmente determinar a velocidade de fluxo no sifão.

Sabendo que a velocidade de escoamento em todo o sifão é a mesma, podemos utilizar a equação de Bernoulli entre os pontos A e B para determinar tal velocidade. Temos então que:

\mathrm{{z_A} + \dfrac{{v_A^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_A}}}{\gamma } = {z_B} + \dfrac{{v_B^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_B}}}{\gamma }}


zA

​+2⋅g


vA

2

​+γ


pA

​=zB

​+2⋅g


vB

2

​+γ


pB

Como temos que a pressão em ambos os pontos é a própria pressão atmosférica e que a velocidade no ponto A é nula, temos:

\mathrm{{z_A} = \dfrac{{v_B^2}}{{2 \cdot g}}}


zA

​=2⋅g


vB

2

\mathbf{{v_B} = 5,66m/s}

vB

​=5,66m/s

Agora que já temos o valor da velocidade do fluxo no sifão, podemos aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos A e S.

Como temos que a pressão mínima no ponto S é -60 kPa e considerando agora o plano horizontal de referência passando pelo ponto A, temos:

\mathrm{0 = {z_S} + \dfrac{{5,{{66}^2}}}{{2 \cdot g}} - \dfrac{{60 \cdot {{10}^3}}}{{{{10}^4}}}}


0=zS

​+2⋅g


5,662

​−104


60⋅103

\mathbf{{z_S} = 4,4m}

zS

​=4,4m


Exercício 2

Calcule a vazão de escoamento no conduto apresentado na figura abaixo. Dados:

  • \mathrm{\gamma _a}
  • γa
  • ​: 10 kN/m³;
  • \mathrm{\gamma _m}
  • γm
  • ​ : 70 kN/m³;
  • A: 400 cm²;
  • p2: 20 kPa;
  • g: 10 m/s².

ESQUEMA DO EXERCÍCIO 2

Resolução

Inicialmente, iremos demarcar na figura os pontos notáveis que iremos utilizar durante a questão para mais fácil entendimento no decorrer da mesma.

Os pontos foram escolhidos por serem pontos de mudança de fluido (água e fluido manométrico) ou por serem pontos que se sabe características como velocidade e pressão.

Logo, temos o seguinte esquema:

ESQUEMA PARA RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2

A questão pede que se determine a vazão do escoamento, ou seja, precisamos determinar a velocidade de escoamento.

Então, vamos aplicar a equação de Bernoulli para os pontos 1 e 5 do escoamento. Temos:

\mathrm{{z_1} + \dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = {z_5} + \dfrac{{v_5^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_5}}}{{{\gamma _a}}}}


z1

​+2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=z5

​+2⋅g


v5

2

​+γa


p5

Como o ponto 5 possui velocidade nula, nele atua somente a pressão atmosférica e ele encontra-se numa cota 3,60 m acima do ponto 1, podemos desenvolver a equação para:

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=3,60m

Como não temos os valores de v1 e nem de p1, não conseguimos desenvolver, por ora, tal equacionamento.

Porém, temos um tubo U entre os pontos 1 e 2 e foi dada a pressão no ponto 2, então, podemos utilizar a lei de Stevin entre os pontos 1 e 2 para determinarmos a pressão no ponto1 e, finalmente, chegarmos a velocidade nesse ponto. Para isso, faremos uso dos pontos 3 e 4. Temos então:

\mathrm{{p_3} - {p_1} = {\gamma _a} \cdot h}

p3

​−p1

​=γa

​⋅h

\mathrm{{p_4} - {p_3} = - {\gamma _m} \cdot 0,2}

p4

​−p3

​=−γm

​⋅0,2

\mathrm{{p_2} - {p_4} = - {\gamma _a} \cdot \left( {h - 0,2} \right)}

p2

​−p4

​=−γa

​⋅(h−0,2)

Logo, temos que:

\mathrm{{p_2} - {p_1} = - 0,2 \cdot \left( {{\gamma _m} - {\gamma _a}} \right)}

p2

​−p1

​=−0,2⋅(γm

​−γa

​)

Como foram dados que p2 é 20 kPa, \mathrm{\gamma _a}

γa

​ é 10 kN/m³ e \mathrm{\gamma _m}

γm

​ é 70 kN/m³, temos:

\mathrm{{p_1} = 32 kPa}

p1

​=32kPa

Então, voltando para formulação encontrada no início da questão, temos:

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=3,60m

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{3,2 \cdot {{10}^4}}}{{10 \cdot {{10}^3}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+10⋅103


3,2⋅104

​=3,60m

\mathrm{v_1^2 = 0,4 \cdot 2 \cdot 10}

v1

2

​=0,4⋅2⋅10

\mathrm{{v_1} = 2,83m/s}

v1

​=2,83m/s

Logo, a vazão do escoamento será:

\mathrm{Q = {v_1} \cdot A}

Q=v1

​⋅A

\mathrm{Q = 2,83 \cdot 400 \cdot {10^{ - 4}}}

Q=2,83⋅400⋅10−4

\mathbf{Q = 0,1132{m^3}/s}

Q=0,1132m3

/s


Exercício 3

De acordo com a atual norma de instalações hidráulicas prediais, a carga de pressão mínima em um chuveiro deve ser de 1,0 mH2O. Para o seguinte esquema representativo das instalações de um banheiro, ilustrado na abaixo, determine a mínima altura de água no reservatório para que essa exigência seja cumprida. Dados:A figura abaixo apresenta um sifão. Sabendo que a pressão no ponto S do sifão deve ser maior que – 60 kPa em pressão relativa e desprezando as perdas de carga determine a velocidade do fluido no sifão e a máxima altura que o ponto S pode ter em relação ao ponto A.

ESQUEMA DO EXERCÍCIO 1

Resolução


Para a resolução da questão, vamos inicialmente determinar a velocidade de fluxo no sifão.

Sabendo que a velocidade de escoamento em todo o sifão é a mesma, podemos utilizar a equação de Bernoulli entre os pontos A e B para determinar tal velocidade. Temos então que:

\mathrm{{z_A} + \dfrac{{v_A^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_A}}}{\gamma } = {z_B} + \dfrac{{v_B^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_B}}}{\gamma }}


zA

​+2⋅g


vA

2

​+γ


pA

​=zB

​+2⋅g


vB

2

​+γ


pB

Como temos que a pressão em ambos os pontos é a própria pressão atmosférica e que a velocidade no ponto A é nula, temos:

\mathrm{{z_A} = \dfrac{{v_B^2}}{{2 \cdot g}}}


zA

​=2⋅g


vB

2

\mathbf{{v_B} = 5,66m/s}

vB

​=5,66m/s

Agora que já temos o valor da velocidade do fluxo no sifão, podemos aplicar a equação de Bernoulli entre os pontos A e S.

Como temos que a pressão mínima no ponto S é -60 kPa e considerando agora o plano horizontal de referência passando pelo ponto A, temos:

\mathrm{0 = {z_S} + \dfrac{{5,{{66}^2}}}{{2 \cdot g}} - \dfrac{{60 \cdot {{10}^3}}}{{{{10}^4}}}}


0=zS

​+2⋅g


5,662

​−104


60⋅103

\mathbf{{z_S} = 4,4m}

zS

​=4,4m


Exercício 2

Calcule a vazão de escoamento no conduto apresentado na figura abaixo. Dados:

  • \mathrm{\gamma _a}
  • γa
  • ​: 10 kN/m³;
  • \mathrm{\gamma _m}
  • γm
  • ​ : 70 kN/m³;
  • A: 400 cm²;
  • p2: 20 kPa;
  • g: 10 m/s².

ESQUEMA DO EXERCÍCIO 2

Resolução

Inicialmente, iremos demarcar na figura os pontos notáveis que iremos utilizar durante a questão para mais fácil entendimento no decorrer da mesma.

Os pontos foram escolhidos por serem pontos de mudança de fluido (água e fluido manométrico) ou por serem pontos que se sabe características como velocidade e pressão.

Logo, temos o seguinte esquema:

ESQUEMA PARA RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2

A questão pede que se determine a vazão do escoamento, ou seja, precisamos determinar a velocidade de escoamento.

Então, vamos aplicar a equação de Bernoulli para os pontos 1 e 5 do escoamento. Temos:

\mathrm{{z_1} + \dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = {z_5} + \dfrac{{v_5^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_5}}}{{{\gamma _a}}}}


z1

​+2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=z5

​+2⋅g


v5

2

​+γa


p5

Como o ponto 5 possui velocidade nula, nele atua somente a pressão atmosférica e ele encontra-se numa cota 3,60 m acima do ponto 1, podemos desenvolver a equação para:

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=3,60m

Como não temos os valores de v1 e nem de p1, não conseguimos desenvolver, por ora, tal equacionamento.

Porém, temos um tubo U entre os pontos 1 e 2 e foi dada a pressão no ponto 2, então, podemos utilizar a lei de Stevin entre os pontos 1 e 2 para determinarmos a pressão no ponto1 e, finalmente, chegarmos a velocidade nesse ponto. Para isso, faremos uso dos pontos 3 e 4. Temos então:

\mathrm{{p_3} - {p_1} = {\gamma _a} \cdot h}

p3

​−p1

​=γa

​⋅h

\mathrm{{p_4} - {p_3} = - {\gamma _m} \cdot 0,2}

p4

​−p3

​=−γm

​⋅0,2

\mathrm{{p_2} - {p_4} = - {\gamma _a} \cdot \left( {h - 0,2} \right)}

p2

​−p4

​=−γa

​⋅(h−0,2)

Logo, temos que:

\mathrm{{p_2} - {p_1} = - 0,2 \cdot \left( {{\gamma _m} - {\gamma _a}} \right)}

p2

​−p1

​=−0,2⋅(γm

​−γa

​)

Como foram dados que p2 é 20 kPa, \mathrm{\gamma _a}

γa

​ é 10 kN/m³ e \mathrm{\gamma _m}

γm

​ é 70 kN/m³, temos:

\mathrm{{p_1} = 32 kPa}

p1

​=32kPa

Então, voltando para formulação encontrada no início da questão, temos:

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{{p_1}}}{{{\gamma _a}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+γa


p1

​=3,60m

\mathrm{\dfrac{{v_1^2}}{{2 \cdot g}} + \dfrac{{3,2 \cdot {{10}^4}}}{{10 \cdot {{10}^3}}} = 3,60m}


2⋅g


v1

2

​+10⋅103


3,2⋅104

​=3,60m

\mathrm{v_1^2 = 0,4 \cdot 2 \cdot 10}

v1

2

​=0,4⋅2⋅10

\mathrm{{v_1} = 2,83m/s}

v1

​=2,83m/s

Logo, a vazão do escoamento será:

\mathrm{Q = {v_1} \cdot A}

Q=v1

​⋅A

\mathrm{Q = 2,83 \cdot 400 \cdot {10^{ - 4}}}

Q=2,83⋅400⋅10−4

\mathbf{Q = 0,1132{m^3}/s}

Q=0,1132m3

/s


Exercício 3

De acordo com a atual norma de instalações hidráulicas prediais, a carga de pressão mínima em um chuveiro deve ser de 1,0 mH2O. Para o seguinte esquema representativo das instalações de um banheiro, ilustrado na abaixo, determine a mínima altura de água no reservatório para que essa exigência seja cumprida. Dados:

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