Aplicação de EDO

Circuito RL com fem v = 4sent, R = 100 Ω e L = 4 H. Escrevendo a equação de tensão:

-> vl + vr = v

-> L*di/dt + R*i = v

-> 4di/dt + 100i = 4sent

-> di/dt + 25i = sent

1) Solução homogênea:

-> dih/dt + 25ih = 0

Solução: ih(t) = K*exp(-25t) (I)

2) Solução particular:

-> dip/dt + 25ip = sent

Solução: ip(t) = Acost + Bsent. Substituindo na equação particular:

-> d(Acost + Bsent)/dt + 25(Acost + Bsent) = sent

-> - Asent + Bcost + 25Acost + 25Bsent = sent

-> (- A + 25B)sent + (B + 25A)cost = sent

Sistema de equações:

{ -A + 25B = 1

{ B + 25A = 0

Resolvendo o sistema de equações, os valores de A e B são:

{ A = -1/626

{ B = 25/626

Então, a solução particular ip(t) = Acost + Bsent é:

-> ip(t) = ( -cost + 25sent )/626 (II)

3) Solução total i(t) = ih(t) + ip(t): substituindo as equações (I) e (II):

-> i(t) = K*exp(-25t) + ( -cost + 25sent )/626

4) Valor de K: como a corrente inicial é zero, tem-se i(0) = 0. Substituindo o valor de K é:

-> i(0) = 0

-> K*exp(-25*0) + ( -cos0 + 25sen0 )/626 = 0

-> K*1 + ( -1 + 25*0 )/626 = 0

-> K - 1/626 = 0

-> K = 1/626

Portanto, a solução completa da corrente i no instante t é:

-> i(t) = K*exp(-25t) + ( -cost + 25sent )/626

-> i(t) = exp(-25t)/626 + ( -cost + 25sent )/626

-> i(t) = ( exp(-25t) - cost + 25sent )/626

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