Equações Diferenciais e Aplicações
Se uma função f(x) de uma variável real admite todas as suas derivadas, além de ser tal que f(x) e suas derivadas são todas limitadas, então f(x) admite uma expansão em série de Taylor centrada em x = k. A série de Maclaurin para uma função f(x) consiste na série de Taylor centrada em zero, ou seja, a série de Maclaurin é um caso particular da série de Taylor.
Considere a função f(x) = e-x. Utilizando a definição da série de Taylor, encontre a aproximação (polinômio) cúbica da função em torno de x = 0.
Assinale a alternativa que fornece o valor da série encontrada (aproximação cúbica) em x = 1.
Alternativas:
a) 0,21.
b) 0,33.
c) 0,41.
d) 0,45.
e) 0,50.
💡 1 Resposta
Ricardo Proba
Aproximação cúbica da Série de Taylor em torno do ponto c = 0:
-> f(x) = f(c) + f'(c)*(x - c)/1! + f''(c)*(x - c)^2/2! + f'''(c)*(x - c)^3/3!
-> f(x) = f(0) + f'(0)*x + f''(0)*x^2/2 + f'''(0)*x^3/6
Derivada par de e^(-x): e^(-x)
Derivada ímpar de e^(-x): - e^(-x)
Substituindo f(x) = e^(-x):
-> e^(-x) = e^(-0) + (- e^(-0))*x + (e^(-0))*x^2/2 + (- e^(-0))*x^3/6
-> e^(-x) = 1 + (- 1)*x + (1)*x^2/2 + (- 1)*x^3/6
-> e^(-x) = 1 - x + x^2/2 - x^3/6
Substituindo x = 1, o valor aproximado é:
-> e^(-1) = 1 - 1 + 1^2/2 - 1^3/6
-> e^(-1) = 1 - 1 + 1/2 - 1/6
-> e^(-1) = 1/3
-> e^(-1) = 0,33
Solução: b) 0,33.
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