Calcular ∫ xy C ds, onde C é a intersecção das superfícies x 2 + y 2 = 4 e y + z = 6.

Se y + z = 6, tem-se z = f(x,y) = 6 - y. Então, C é:

-> C = √[ (df/dx)^2 + (df/dy)^2 + 1 ]

-> C = √[ (d(6-y)/dx)^2 + (d(6-y)/dy)^2 + 1 ]

-> C =√[ (0)^2 + (-1)^2 + 1 ]

-> C = √[ 0 + 1 + 1 ]

-> C = √2

Então, a integral fica da seguinte forma:

-> I = ∫xy C dS

-> I = √2 ∫xy dS

Com base na superfície x^2 + y^2 = 4, são aplicadas as coordenadas polares, onde x = rcosθ, y = rsinθ e x^2 + y^2 = r^2. Portanto, os limites de r e θ são:

-> 0 ≤ r ≤ 2

-> 0 ≤ θ ≤ 2π

Então, com dA = r dr dθ, a integral fica da seguinte forma:

-> I = √2 ∫xy dS

-> I = √2 ∫∫rcosθ*rsinθ*r dr dθ

-> I = √2 ∫r^3 dr ∫sinθcosθ dθ

-> I = √2 ∫r^3 dr ∫(sin2θ)/2 dθ

-> I = √2 [r^4/4] [(-cos2θ)/4]

Com base em 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2π:

-> I = √2 [2^4/4 - 0^4/4] [(-cos2*2π)/4 - (-cos2*0)/4]

-> I = √2 [16/4 - 0] [(-cos4π)/4 - (-cos0)/4]

-> I = √2 [4] [(-1)/4 - (-1)/4]

-> I = 4√2 [-1/4 + 1/4]

-> I = 4√2 [0]

-> I = 0

Portanto, a integral é zero.

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