a equação da reta tangente à circunferência (x - 4) 2 + (y - 5) 2 = 20 e que a tangencia no ponto de abscissa 2 é:?!

Equação genérica de reta tangente:

-> y = dy/dx * x + b

Derivando (x - 4)² + (y - 5)² = 20 em x, a equação de dy/dx é:

-> (x - 4)² + (y - 5)² = 20

-> d(x - 4)²/dx + d(y - 5)²/dx = d(20)/dx

-> d(x - 4)²/dx + d(y - 5)²/dy * dy/dx = 0

-> 2(x - 4) + 2(y - 5)*dy/dx = 0

-> 2(y - 5)*dy/dx = - 2(x - 4)

-> (y - 5)*dy/dx = - (x - 4)

-> dy/dx = - (x - 4)/(y - 5)

------------------------------------

Se a abscissa é x0 = 2, a ordenada y é:

-> (x0 - 4)² + (y0 - 5)² = 20

-> (2 - 4)² + (y0 - 5)² = 20

-> (-2)² + (y0 - 5)² = 20

-> 4 + (y0 - 5)² = 20

-> (y0 - 5)² = 16

{ y0 - 5 = 4 -> { y0 = 9

{ y0 - 5 = -4 -> { y0 = 1

Para abscissa x0 = 2, tem-se duas ordenadas: y0 = 1 e y0 = 9.

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1) Ordenada y = 1: reta tangente ao ponto (x0, y0) = (2, 1).

Valor de dy/dx:

-> dy/dx = - (x0 - 4)/(y0 - 5)

-> dy/dx = - (2 - 4)/(1 - 5)

-> dy/dx = - (-2)/(-4)

-> dy/dx = - 1/2

Equação da reta tangente:

-> y = dy/dx * x + b

-> y = - x/2 + b

Substituindo (x0, y0) = (2, 1) em y = - x/2 + b, o valor de b é:

-> y0 = - x0/2 + b

-> 1 = - 2/2 + b

-> 1 = - 1 + b

-> b = 2

Portanto, a equação da reta tangente à circunferência (x - 4)² + (y - 5)² = 20 no ponto (2, 1) é:

-> y = - x/2 + 2 (I)

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2) Ordenada y = 9: reta tangente ao ponto (x0, y0) = (2, 9).

Valor de dy/dx:

-> dy/dx = - (x0 - 4)/(y0 - 5)

-> dy/dx = - (2 - 4)/(9 - 5)

-> dy/dx = - (-2)/(4)

-> dy/dx = 1/2

Equação da reta tangente:

-> y = dy/dx * x + b

-> y = x/2 + b

Substituindo (x0, y0) = (2, 9) em y = x/2 + b, o valor de b é:

-> y0 = x0/2 + b

-> 9 = 2/2 + b

-> 9 = 1 + b

-> b = 8

Portanto, a equação da reta tangente à circunferência (x - 4)² + (y - 5)² = 20 no ponto (2, 9) é:

-> y = x/2 + 8 (II)

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3) Retas tangentes à circunferência (x - 4)² + (y - 5)² = 20:

Ponto (2, 1): y = - x/2 + 2

Ponto (2, 9): y = x/2 + 8

Se gostou, dá um joinha!

https://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110423190750AASIfXd

https://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090628112948AA9rsFw

Neymar, usei cálculo 1 sim. Nesses dois links as respostas finais bateram com as minhas. Acredito que o gabarito esteja errado.