Faça o estudo dos sinais das seguintes funções: a) Y=–x²=4x+5 b) Y=–x²+2x+3 c) Y=x²-5x+6 d) Y=x²-6x+9

Para uma função quadrática do tipo y = ax² + bx + c, suas raízes são calculadas da seguinte forma:

-> x = [ -b ± √(b² - 4ac) ] / (2a)

Além disso, tem-se a seguinte análise:

. a > 0: concavidade da função voltada para cima.

. a < 0: concavidade da função voltada para baixo.

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a) y = - x² + 4x + 5

Tem-se a = -1, b = 4, c = 5. Portanto, as raízes da função são:

-> x = [ -b ± √(b² - 4ac) ] / (2a)

-> x = [ - 4 ± √(4² - 4⋅(-1)⋅5) ] / (2⋅(-1))

-> x = [ - 4 ± √(16 + 20) ] / (- 2)

-> x = [ - 4 ± √(36) ] / (- 2)

-> x = [ 4 ± 6 ] / 2

-> x₁ = 5 ; x₂ = -1

Além disso, com a = -1 < 0, a concavidade da função é voltada para baixo. Portanto, com x₁ ≠ x₂, o vértice da parábola está acima do eixo x.

Com isso, tem-se o seguinte estudo de sinais:

. -∞ < x < -1: y negativo.

. -1 < x < 5: y positivo.

. 5 < x < +∞: y negativo.

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b) y = - x² + 2x + 3

Tem-se a = -1, b = 2, c = 3. Portanto, as raízes da função são:

-> x = [ -b ± √(b² - 4ac) ] / (2a)

-> x = [ - 2 ± √(2² - 4⋅(-1)⋅3) ] / (2⋅(-1))

-> x = [ - 2 ± √(4 + 12) ] / (-2)

-> x = [ - 2 ± √(16) ] / (-2)

-> x = [ 2 ± 4 ] / 2

-> x₁ = 3 ; x₂ = -1

Além disso, com a = -1 < 0, a concavidade da função é voltada para baixo. Portanto, com x₁ ≠ x₂, o vértice da parábola está acima do eixo x.

Com isso, tem-se o seguinte estudo de sinais:

. -∞ < x < -1: y negativo.

. -1 < x < 3: y positivo.

. 3 < x < +∞: y negativo.

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c) y = x² - 5x + 6

Tem-se a = 1, b = -5, c = 6. Portanto, as raízes da função são:

-> x = [ -b ± √(b² - 4ac) ] / (2a)

-> x = [ -(-5) ± √((-5)² - 4⋅1⋅6) ] / (2⋅1)

-> x = [ 5 ± √(25 - 24) ] / 2

-> x = [ 5 ± √(1) ] / 2

-> x = [ 5 ± 1 ] / 2

-> x₁ = 3 ; x₂ = 2

Além disso, com a = 1 > 0, a concavidade da função é voltada para cima. Portanto, com x₁ ≠ x₂, o vértice da parábola está abaixo do eixo x.

Com isso, tem-se o seguinte estudo de sinais:

. -∞ < x < 2: y positivo.

. 2 < x < 3: y negativo.

. 3 < x < +∞: y positivo.

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d) y = x² - 6x + 9

Tem-se a = 1, b = -6, c = 9. Portanto, as raízes da função são:

-> x = [ -b ± √(b² - 4ac) ] / (2a)

-> x = [ -(-6) ± √((-6)² - 4⋅1⋅9) ] / (2⋅1)

-> x = [ 6 ± √(36 - 36) ] / 2

-> x = [ 6 ± √(0) ] / 2

-> x = [ 6 ± 0 ] / 2

-> x₁ = 3 ; x₂ = 3

Além disso, com a = 1 > 0, a concavidade da função é voltada para cima. Portanto, com x₁ = x₂, o vértice da parábola está exatamente no eixo x.

Com x₁ = x₂ e a > 0, tem-se y positivo para x ∈ ℜ.

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