Assinale a alternativa correta que indica a equação geral do plano que contém as retasr1=⎧⎩⎨x=−2t y=−2t+3 z=−4t−1 e r2={y=xz=2x

1) Reta r₁:

{ x = - 2t + 0

{ y = - 2t + 3

{ z = - 4t - 1

A reta r₁ possui vetor diretor r₁ = (-2, -2, -4) e passa pelo ponto A(0, 3, -1).

2) Reta r₂:

{ y = x

{ z = 2x

A reta r₂ possui vetor diretor r₂ = (1, 1, 2) e passa pelo ponto B(0, 0, 0).

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Os vetores r₁ = (-2, -2, -4) e r₂ = (1, 1, 2) precisam estar contidos no plano π. Porém, eles são múltiplos um do outro, o que exige a necessidade de encontrar um outro vetor contido nesse plano.

Considerando os pontos A(0, 3, -1) e B(0, 0, 0), tem-se o seguinte vetor:

-> v = A - B

-> v = (0, 3, -1) - (0, 0, 0)

-> v = (0, 3, -1)

Com os vetores r₂ = (1, 1, 2) e v = (0, 3, -1) contidos no plano π, o vetor normal (n) a esse plano é:

-> n = r₂ × v

-> n = (1, 1, 2) × (0, 3, -1)

| i j k |

-> n = | 1 1 2 |

| 0 3 -1 |

-> n = ( -1⋅1 - 2⋅3 )i + ( 2⋅0 - 1⋅(-1) )j + ( 1⋅3 - 1⋅0 )k

-> n = ( -1 - 6 )i + ( 0 + 1 )j + ( 3 - 0 )k

-> n = (-7, 1, 3)

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Portanto, com vetor normal n = (-7, 1, 3), a equação do plano π fica da seguinte forma:

-> -7(x - x₀) + 1(y - y₀) + 3(z - z₀) = 0

O ponto (x₀, y₀, z₀) é um ponto qualquer contido no plano π. Substituindo (x₀, y₀, z₀) = B(0, 0, 0), por exemplo, a equação do plano fica da seguinte forma:

-> -7(x - 0) + 1(y - 0) + 3(z - 0) = 0

-> -7x + y + 3z = 0

Multiplicando por 2:

-> -14x + 2y + 6z = 0

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Solução: letra c. π: -14x + 2y + 6z = 0.

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