Determine a equação geral do plano π que contém as retas R1 {X= -2t + 0, {y= -2t + 3, {Z= -4t – 1 e R2 {y= x, {z= 2x

1) Reta r1:

{ x = - 2t + 0

{ y = - 2t + 3

{ z = - 4t - 1

A reta r1 possui vetor diretor r1 = (-2, -2, -4) e passa pelo ponto A(0, 3, -1).

2) Reta r2:

{ y = x

{ z = 2x

A reta r2 possui vetor diretor r2 = (1, 1, 2) e passa pelo ponto B(0, 0, 0).

--------------------------------------------------------------------

Os vetores r1 = (-2, -2, -4) e r2 = (1, 1, 2) precisam estar contidos no plano π. Porém, eles são múltiplos um do outro, o que exige a necessidade de encontrar um outro vetor contido nesse plano.

Considerando os pontos A(0, 3, -1) e B(0, 0, 0), tem-se o seguinte vetor:

-> v = A - B

-> v = (0, 3, -1) - (0, 0, 0)

-> v = (0, 3, -1)

Com os vetores r2 = (1, 1, 2) e v = (0, 3, -1) contidos no plano π, o vetor normal (n) a esse plano é:

-> n = r2 x v

-> n = (1, 1, 2) x (0, 3, -1)

| i j k |

-> n = | 1 1 2 |

| 0 3 -1 |

-> n = ( -1*1 - 2*3)i + ( 2*0 - 1*(-1) )j + ( 1*3 - 1*0 )k

-> n = ( -1 - 6)i + ( 0 + 1 )j + ( 3 - 0 )k

-> n = (-7, 1, 3)

--------------------------------------------------------------------

Portanto, com vetor normal n = (-7, 1, 3), a equação do plano fica da seguinte forma:

-> -7(x - x0) + 1(y - y0) + 3(z - z0) = 0

O ponto (x0, y0, z0) é um ponto qualquer contido no plano π. Substituindo (x0, y0, z0) = B(0, 0, 0), por exemplo, a equação do plano fica da seguinte forma:

-> -7(x - 0) + 1(y - 0) + 3(z - 0) = 0

-> -7x + y + 3z = 0

--------------------------------------------------------------------

Solução: -7x + y + 3z = 0

Se gostou, dá um joinha!