Qual é o valor de m para que as retas r1 e r2 sejam coplanares? r1 : y=mx - 3 z = 2x=1

Para que as retas seja coplanares, elas devem ser paralelas ou concorrentes. Caso sejam reversas, elas não serão coplanares.

A reta r foi dada coma a intersecção de dois planos. Tomando x = α podemos reescrever a reta r com as seguintes equações paramétricas.

x = α

y = 3 + 2α

z = -1 + 3α

vemos que vetor r = (1,2,3) é diretor da reta r.

A reta s foi dada pela equações simétricas e podemos reescrevê-la com as equações paramétricas também:

x = 1 + 2β

y = -β

z = mβ

Assim, o vetor s = (2,-1,m) é diretor da reta s.

Vemos que os vetores diretores de r e s não são proporcionais portanto não tem mesma direção, logo r e s não são paralelas.

Então, para que r e s sejam coplanares elas deve ser concorrentes, portanto deve existir um ponto P = (a,b,c) que satisfaça as equações das duas retas, assim o ponto P pertence tanto a reta r e s e elas serão concorrentes em P, portanto vamos igualar as equções paramétricas da duas retas para determinar o valor de m. 

α = 1 + 2β

3 + 2α = -β

-1 + 3α = mβ

Resolvendo esse sistema de 3 equações e 3 icógnitas podemos determinar o valor de m para que r e s sejam concorrentes e portanto coplanares.

Substituindo a equação 1 na 2 temos que:

3 + 2(1 + 2β) = -β ⇒

3 + 2 + 4β = -β ⇒

5β = -5 ⇒

β = -1

Substituindo o valor de β na equação 1 do sistema, temos que:

α = 1 + 2(-1) ⇒

α = 1 - 2 ⇒

α = -1

Com os valores de α e β, determinamos m pela equação 3 do sistema:

-1 + 3(-1) = m(-1) ⇒

-1 - 3 = -m ⇒

m = 4