Determine as derivadas parciais de 2ª ordem no ponto P(1,2) da função f(x,y)= x. ln(x^2+y^2) ?

Para determinar as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x, y) = x ln(x^2 + y^2) no ponto P(1, 2), vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem e, em seguida, as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem: ∂f/∂x = ln(x^2 + y^2) + x * (2x) / (x^2 + y^2) ∂f/∂x = ln(x^2 + y^2) + 2x^2 / (x^2 + y^2) ∂f/∂y = x * (2y) / (x^2 + y^2) ∂f/∂y = 2xy / (x^2 + y^2) Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem: ∂^2f/∂x^2 = (2x^2 * (x^2 + y^2) - (2x)^2 * (x^2 + y^2)) / (x^2 + y^2)^2 ∂^2f/∂x^2 = (2x^4 + 2x^2y^2 - 4x^4 - 4x^2y^2) / (x^2 + y^2)^2 ∂^2f/∂x^2 = (-2x^4 - 2x^2y^2) / (x^2 + y^2)^2 ∂^2f/∂y^2 = (2x^2 * (x^2 + y^2) - (2y)^2 * (x^2 + y^2)) / (x^2 + y^2)^2 ∂^2f/∂y^2 = (2x^4 + 2x^2y^2 - 4y^4 - 4x^2y^2) / (x^2 + y^2)^2 ∂^2f/∂y^2 = (-4y^4 - 2x^2y^2) / (x^2 + y^2)^2 ∂^2f/∂x∂y = (2xy * (x^2 + y^2) - 2xy * (x^2 + y^2)) / (x^2 + y^2)^2 ∂^2f/∂x∂y = 0 Agora, podemos substituir o ponto P(1, 2) nas derivadas parciais de segunda ordem: ∂^2f/∂x^2 (1, 2) = (-2(1)^4 - 2(1)^2(2)^2) / ((1)^2 + (2)^2)^2 ∂^2f/∂x^2 (1, 2) = (-2 - 8) / (1 + 4)^2 ∂^2f/∂x^2 (1, 2) = -10 / 25 ∂^2f/∂x^2 (1, 2) = -2/5 ∂^2f/∂y^2 (1, 2) = (-4(2)^4 - 2(1)^2(2)^2) / ((1)^2 + (2)^2)^2 ∂^2f/∂y^2 (1, 2) = (-4(16) - 2(4)) / (1 + 4)^2 ∂^2f/∂y^2 (1, 2) = (-64 - 8) / 25 ∂^2f/∂y^2 (1, 2) = -72 / 25 ∂^2f/∂x∂y (1, 2) = 0 Portanto, as derivadas parciais de segunda ordem no ponto P(1, 2) da função f(x, y) = x ln(x^2 + y^2) são: ∂^2f/∂x^2 (1, 2) = -2/5 ∂^2f/∂y^2 (1, 2) = -72/25 ∂^2f/∂x∂y (1, 2) = 0