Probabilidade
Em um exame escrito de condução de veículos o indivíduo pode ser aprovado ou reprovado. Uma pessoa escolhida aleatoriamente de uma turma preparatória para o exame tem 40% de chance de conhecer bem o material. Se uma pessoa conhece bem o material, a probabilidade de ela passar no teste escrito é de 80%. Para uma pessoa que não conhece bem o material a probabilidade de passar o teste é de 40%.
a) Qual é a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente da turma passe no teste?
b) Dado que uma pessoa da turma tenha passado no teste, qual a probabilidade de que esta pessoa conheça bem o material?
💡 1 Resposta
Ricardo Proba
Probabilidade condicional: dado que o evento B tenha ocorrido, a probabilidade do evento A ocorrer é:
-> P( A | B ) = P( A ∩ B ) / P( B )
Reescrevendo:
-> P( A ∩ B ) = P( A | B )·P( B )
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Vamos considerar os seguintes eventos:
- cm: a pessoa conhece bem o material.
- cm': a pessoa não conhece bem o material.
- pt: a pessoa passa no teste escrito.
- pt': a pessoa não passa no teste escrito.
Portanto, pelo enunciado, tem-se:
- P( cm ) = 40 % = 0,4.
- P( pt | cm ) = 80 % = 0,8.
- P( pt | cm' ) = 40 % = 0,4.
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Como os eventos cm e cm' são mutuamente excludentes, o valor de P(cm') é:
-> P( cm ) + P( cm' ) = 1
-> P( cm' ) = 1 - P( cm )
-> P( cm' ) = 1 - 0,4
-> P( cm' ) = 0,6
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a)
Com P( cm ) + P( cm' ) = 1, pode-se aplicar a Lei da Probabilidade Total da seguinte forma:
-> P( pt ) = P( pt ∩ cm ) + P( pt ∩ cm' )
Aplicando a probabilidade condicional:
-> P( pt ) = P( pt | cm )·P( cm ) + P( pt | cm' )·P( cm' )
Substituindo os valores, a probabilidade de que uma pessoa escolhida aleatoriamente da turma passe no teste é:
-> P( pt ) = 0,8·0,4 + 0,4·0,6
-> P( pt ) = 0,32 + 0,24
-> P( pt ) = 0,56 = 56 %
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b)
Dado que uma pessoa da turma tenha passado no teste, a probabilidade de que esta pessoa conheça bem o material é:
-> P( cm | pt )
Aplicando novamente a probabilidade condicional:
-> P( cm | pt ) = [ P( cm ∩ pt ) ] / P( pt )
-> P( cm | pt ) = [ P( pt ∩ cm ) ] / P( pt )
-> P( cm | pt ) = [ P( pt | cm )·P( cm ) ] / P( pt )
Substituindo os valores:
-> P( cm | pt ) = [ 0,8·0,4 ] / 0,56
-> P( cm | pt ) = 0,32 / 0,56
-> P( cm | pt ) = 0,5714 = 57,14 %
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