Seja f(x) = tan(x) = sen(x)/cox(x). A derivada de f(x) é igual a:

1/cos²(x)

Regra do quociente, a derivada é= (cosx . cos x - (-sin x) sin x)/cos² x ou seja= (cos²x + sin²x)/(cos²x) como sabemos por identidade trigonometrica que (sin²x + cos² x)=1, vai ficar 1/cos² x que nada mais é que sec²x, que é a derivada da tangente