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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO DISCIPLINA: ENGENHARIA DE CONTROLE (2024.1 - T01) DISCENTE: ANA LUIZA OLIVEIRA GUIMARÃES O’FARRELL (MAT. 2023098261) ATIVIDADE 1 01) i) A equação de movimento para o caso de controle da velocidade de um carro, assumindo que o motor fornece uma força 𝑢, é dada a seguir: �̇� + 𝑏 𝑚 𝑣 = 𝑢 𝑚 Solucionando tal equação por Transformada de Laplace, obtemos: 𝑠𝑉𝑜𝑒𝑠𝑡 + 𝑏 𝑚 𝑉𝑜𝑒𝑠𝑡 = 1 𝑚 𝑈𝑜𝑒𝑠𝑡 → (𝑠 + 𝑏 𝑚 ) 𝑉𝑜𝑒𝑠𝑡 = 1 𝑚 𝑈𝑜𝑒𝑠𝑡 Anulando o termo 𝑒𝑠𝑡 e escrevendo na forma de função de transferência, temos: 𝑉(𝑠) 𝑈(𝑠) = 1 𝑚 𝑠 + 𝑏 𝑚 ii) MATLAB Utilizando a função step para 𝑚 = 500𝑁, 𝑏 = 50𝑁. 𝑠/𝑚 e 500𝑁 como amplitude da entrada em degrau, obtemos a seguinte resposta temporal: 02) A função de transferência de malha fechada 𝐶(𝑠)/𝑅(𝑠) pode ser escrita da seguinte forma: 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝜔𝑛 2 𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛 2 A partir dos valores 𝜁 = 0,6 e 𝜔𝑛 = 5 𝑟𝑎𝑑/𝑠, obtemos os parâmetros 𝜔𝑑, 𝜎 e 𝛽. 𝜔𝑑 = 𝜔𝑛√1 − 𝜁2 = 5 ∙ (0,8) = 4 𝜎 = 𝜁𝜔𝑛 = 3 𝛽 = 𝑡𝑔−1 𝜔𝑑 𝜎 = 𝑡𝑔−1 4 3 ≅ 0,927 𝑟𝑎𝑑 Cálculo do tempo de subida 𝑡𝑟: 𝑡𝑟 = 𝜋 − 𝛽 𝜔𝑑 = 3,142 − 0,927 4 ≅ 0,554 𝑠 Cálculo do tempo de pico 𝑡𝑝: 𝑡𝑝 = 𝜋 𝜔𝑑 = 3,142 4 ≅ 0,785 𝑠 Cálculo do máximo sobressinal 𝑀𝑝: 𝑀𝑝 = 𝑒−(𝜎/𝜔𝑑)𝜋 = 𝑒−(3/4)∙3,142 ≅ 0,095 = 9,5% Cálculo do tempo de acomodação 𝑡𝑠: [𝐶𝑟𝑖𝑡é𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 2%] 𝑡𝑠 = 4 𝜎 = 4 3 ≅ 1,333 𝑠 [𝐶𝑟𝑖𝑡é𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 5%] 𝑡𝑠 = 3 𝜎 = 3 3 = 1 𝑠 03) i) A equação característica do sistema é dada a seguir: 1 + 𝐾 ∙ 𝑠 + 1 𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 + 6) = 0 → 𝑠3 + 5𝑠2 + (𝐾 − 6)𝑠 + 𝐾 = 0 Aplicando o critério de Routh, obtemos: 𝑠3: 1 𝐾 − 6 𝑠2: 5 𝐾 𝑠1 : 5(𝐾 − 6) − 𝐾 5 = 4𝐾 − 30 5 𝑠0 : ( 4𝐾 − 30 5 ∙ 𝐾) − 0 4𝐾 − 30 5 = 𝐾 Portanto, para que o sistema seja estável, as seguintes condições devem ser atendidas: 4𝐾 − 30 5 > 0 → 𝐾 > 7,5 𝐾 > 0 ii) MATLAB Com base em um valor específico do ganho 𝐾, podemos calcular os polos de malha fechada encontrando as raízes do polinômio característico. Como exemplo, utilizei 𝐾 = 7,5, 𝐾 = 10 e 𝐾 = 12,5; nos dois últimos casos, veremos que o sistema é estável, como previsto pelo método de Routh. Abaixo, cálculo das raízes e gráfico da resposta transitória para os três valores citados de 𝐾:
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